Análise de Estabilidade de Sistema Discreto Causal

Um sistema linear, discreto, causal e invariante no tempo é definido pela entrada u(n) e pela saída y(n).

A sua dinâmica é modelada pela seguinte equação de diferenças:

8y(n) - 6y(n-1) + y(n-2) = 8u(n)

Com base nas informações apresentadas, resolva as questões a seguir.

Este sistema é estável ou instável? Justifique sua resposta.

O sistema é ESTÁVEL.

Justificativa:

1. Normalizando a equação de diferenças, temos:
   y(n) - (6/8)y(n-1) + (1/8)y(n-2) = u(n)
2. A equação característica correspondente é:
   r² - (3/4)r + 1/8 = 0
3. Fatorando a equação, obtemos:
   (r - 1/2)(r - 1/4) = 0
4. Conclui-se que as raízes (polos) da equação característica são r₁ = 0,5 e r₂ = 0,25.

O sistema é ESTÁVEL, pois os polos estão no interior do círculo unitário, ou seja, todos têm módulo menor que um.

Para calcular os valores iniciais y(0), y(1) e y(2), pode-se usar a forma interativa.

Como o sistema é CAUSAL, y(n) = 0 para n < 0. A entrada é um impulso unitário (u(n) = δ(n)), com as seguintes características:

• δ(n) = 1 para n = 0
• δ(n) = 0 para n ≠ 0

Cálculo para n = 0:

8y(0) - 6y(-1) + y(-2) = 8δ(0)
8y(0) - 6(0) + 0 = 8(1)
8y(0) = 8
y(0) = 1

Cálculo para n = 1:

8y(1) - 6y(0) + y(-1) = 8δ(1)
8y(1) - 6(1) + 0 = 8(0)
8y(1) = 6
y(1) = 6/8 = 3/4

Cálculo para n = 2:

8y(2) - 6y(1) + y(0) = 8δ(2)
8y(2) - 6(3/4) + 1 = 8(0)
8y(2) - 9/2 + 1 = 0
8y(2) = 9/2 - 1
8y(2) = 7/2
y(2) = 7/16

Aplicando a Transformada Z na equação 8y(n) - 6y(n-1) + y(n-2) = 8u(n), obtém-se:

8Y(z) - 6z⁻¹Y(z) + z⁻²Y(z) = 8U(z)

Y(z)(8 - 6z⁻¹ + z⁻²) = 8U(z)

A função de transferência H(z) = Y(z)/U(z) é:

H(z) = 8 / (8 - 6z⁻¹ + z⁻²)

Multiplicando o numerador e o denominador por z²:

H(z) = 8z² / (8z² - 6z + 1)

Dividindo o numerador e o denominador por 8:

H(z) = z² / (z² - (3/4)z + 1/8)

Na figura acima encontram-se, à esquerda, os gráficos no plano Z, contendo as raízes características de três funções de transferências de modelos discretos, que estão traçadas em relação ao círculo unitário. À direita, são mostrados gráficos de sequências temporais de modos característicos.

A correspondência entre os gráficos é:

• (A) 1-Y, 2-Z e 3-W

Os controladores com dois graus de liberdade são utilizados quando se deseja ajustar, de maneira independente, o seguimento de uma referência e a rejeição de perturbações.

Na figura abaixo, é representado o diagrama de blocos de um sistema de controle com dois graus de liberdade, onde H_c(s) e H_f(s) são as funções de transferência dos controladores, G(s) é a função de transferência da planta, w(s) é uma entrada de perturbação, ref(s) é a referência e y(s) é a saída.

LETRA E