Análise de Independência e Concordância em Tabelas de Contingência

1) Tabela 1: Independência Condicional vs. Marginal

As variáveis X e Y são condicionalmente independentes dada Z, mas não são marginalmente independentes. Você concorda?

Solução:

Para definir a independência condicional, precisamos calcular:

RC_xy(k) = (m_11k * m_22k) / (m_12k * m_21k)

onde k = 1, 2 (correspondente à variável Z).

Quando k = 1, RC_xy(1) = (18 * 8) / (12 * 12) = 1

Quando k = 2, RC_xy(2) = (2 * 32) / (8 * 8) = 1

Portanto, existe independência entre X e Y quando condicionado em Z (seja Z = 1 ou Z = 2).

Para definir independência marginal, calculamos:

RC_xy = ((m₁₁₊) * (m₂₂₊)) / ((m₂₁₊) * (m₁₂₊)) = (20 * 40) / (20 * 20) = 2

Como RC_xy ≠ 1, X e Y não são marginalmente independentes.

Concordo com a afirmação proposta no enunciado.

2) Modelos Encaixados em Tabelas I × J × K

Para uma tabela I × J × K com variáveis X, Y e Z, apresente dois modelos encaixados, ambos diferentes dos modelos nulo e saturado. Descreva os dois modelos e explique como testar se o modelo mais simples efetua um ajuste tão bom quanto o modelo mais complexo.

Solução:

O modelo mais simples escolhido é o modelo de independência mútua:

log(m_ijk) = λ + λ_i^x + λ_j^y + λ_k^z ou (X, Y, Z)

Este modelo é melhor ajustado para testar se não há correlação entre as variáveis dos dados.

O modelo mais complexo é aquele onde uma variável é conjuntamente independente do par formado pelas demais variáveis:

log(m_ijk) = λ + λ_i^x + λ_j^y + λ_k^z + λ_ij^xy ou (XY, Z) ou X ╨ Y ╨ Z

Este modelo é melhor ajustado para testar se há independência entre um par das variáveis (X, Y) e a variável isolada (Z).

O modelo simples escolhido é encaixado no modelo mais complexo.

A melhor forma de estudar o ajuste individual de cada modelo separadamente é pela estatística X² ou G², onde:

X² = Σ_iΣ_jΣ_k (n_ijk - m̂_ijk)² / (m̂_ijk)

G² = 2 * Σ_iΣ_jΣ_k n_ijk * log(n_ijk / m̂_ijk)

Se o modelo se ajusta bem aos dados, a distribuição assintótica de X² e G² é χ²_g (n -> ∞), em que 'g' (graus de liberdade) depende do modelo ajustado. O ajuste do modelo é comparado ao ajuste do modelo saturado.

A melhor forma de comparar o ajuste entre os dois modelos (simples e mais complexo) pode ser obtida pela estatística G².

3) Dados Pareados: Associação e Concordância

Dados pareados das variáveis X e Y foram coletados e as frequências observadas são apresentadas na Tabela 2. Afirma-se que a associação entre as variáveis é forte, mas a concordância não é forte. Você concorda?

Solução:

n = 15 + 15 + ... + 5 = 80. Dividindo toda a tabela por 80, obtém-se 1/4 para todas as marginais. Logo, X e Y têm distribuição marginal (homogeneidade marginal) com probabilidade (1/4, 1/4, 1/4, 1/4).

A frequência esperada é dada por m̂_ij = N * π_ij = N * (π_i+) * (π_+j) = 80 * (1/4) * (1/4) = 5 (assumindo independência).

A estatística X² = Σ_iΣ_j (n_ijk - m̂_ijk)² / m̂_ijk = Σ_iΣ_j (n_ij - 5)² / 5 = 120. Graus de liberdade = (I - 1) * (J - 1) = (4 - 1) * (4 - 1) = 9.

Como H₀: as variáveis são independentes (não há associação) vs. H₁: as variáveis não são independentes, rejeitamos H₀ ao nível de significância de 5%, pois X² é alto. Isso indica associação entre X e Y.

Valores baixos na diagonal principal indicam fraca concordância.

Pela medida kappa, temos:

P_c = (1/n²) * Σ_i(n_i+ * n_+i) = (1/80²) * (20*20 + 20*20 + 20*20 + 20*20) = 1/4

P_o = (1/n) * Σ_i(n_ii) = (1/80) * 20 = 1/4

k = (P_o - P_c) / (1 - P_c) = (1/4 - 1/4) / (1 - 1/4) = 0. Isso indica fraca concordância.

Forte concordância implica associação, mas o contrário não é verdadeiro.

Conclusão: Concordo com o enunciado, pois há alta associação (teste X²), mas baixa concordância (medida kappa).

4) Estudo Transversal sobre AIDS

Dados da Tabela 3 foram coletados em um estudo transversal com n = 651 respondentes sobre o tema da AIDS. Duas das variáveis são as opiniões sobre campanhas com informações sobre práticas seguras (I) e sobre a obrigação de o governo pagar os custos de tratamentos dos pacientes com AIDS (C). Os respondentes foram classificados de acordo com o gênero (S).

(b) Modelos sem o termo CI

Afirma-se que modelos sem o termo CI levam a um ajuste ruim. Os resultados na Tabela 4 justificam esta afirmação?

Solução:

Considerando α = 5%, temos G² e X² ~ χ²(gl), onde o valor crítico de χ²(3) = 7.815 (e não 12.838 como no original - este é o valor para 6 graus de liberdade). É preciso o número correto de graus de liberdade para cada teste.

Para (SC, I): G² = 19.9, X² = 18.61 e valor-p = 0.0001. G² e X² são maiores que o valor crítico, e o valor-p é pequeno. Rejeitamos a hipótese nula de que o modelo se ajusta bem.

Para (SI, C): G² = 17.2, X² = 15.97 e valor-p = 0.0004 (assumindo 2 graus de liberdade - precisa ser verificado). G² e X² são maiores que o valor crítico, e o valor-p é pequeno. Rejeitamos a hipótese nula.

A afirmação é justificada, pois os modelos sem o termo CI apresentam valores altos de G² e X² e baixos valores-p, indicando um ajuste ruim.

(c) Descrição dos Modelos (SC, I) e (SC, SI, CI)

Solução:

Modelo (SC, I):

log(m_ijk) = λ + λ_i^S + λ_j^C + λ_k^I + λ_ij^SC

Este modelo indica que a variável I é independente do par formado pelas variáveis S e C, mas S e C podem estar associadas.

Modelo (SC, SI, CI):

log(m_ijk) = λ + λ_i^S + λ_j^C + λ_k^I + λ_ij^SC + λ_ik^SI + λ_jk^CI

Este modelo permite associação entre todos os pares de variáveis. Não há independência condicional entre nenhum par de variáveis.

(d) Razão de Chances entre I e C

As frequências esperadas estimadas com o modelo (SC, SI, CI) encontram-se na Tabela 5. Apresente estimativas da razão de chances entre as variáveis I e C para cada gênero dos respondentes com uma casa decimal. Surpresa?

Solução:

Para o gênero masculino: RC_IC(1) = (77.5 * 26.5) / (4.5 * 158.5) ≈ 2.9

Para o gênero feminino: RC_IC(2) = (142.5 * 46.5) / (12.5 * 182.5) ≈ 2.9

Nenhuma surpresa, pois o modelo ajustado (SC, SI, CI) é um modelo de associação homogênea, o que significa que as razões de chances são iguais entre os grupos (gêneros).