Análise de Séries Temporais: Provas e Soluções

PRIMEIRA PROVA DE SÉRIES TEMPORAIS SME0808

(QUESTÃO 01) Verdadeiro ou Falso.

(A) O método de alisamento exponencial só pode ser utilizado em séries sazonais.

FALSO! Podemos aplicar o método de alisamento exponencial simples para uma série temporal x₁,...,x_n não sazonal e sem tendência sistemática tomando a estimativa de x_n+1 como uma soma ponderada das observações passadas, ou seja: x̂_n(1) = a₀x_n+a₁*x_n-1+... , onde {a_j} são pesos atribuídos.

(B) Em um processo estacionário, média e variância e a covariância devem ser independentes ao mesmo tempo.

FALSO! Em um processo estacionário, a média e a variância devem ser constantes e a covariância deve depender apenas de uma distância h (distância entre as observações no tempo), mas não deve depender do parâmetro tempo (t) diretamente.

(C) Um passeio aleatório com erros normais é sempre estacionário.

FALSO! Seja um processo estacionário e_t ~N(u,σ_e²), com processo X_t dado por:

X_t = X_t-1 + e_t, realizando substituições sucessivas, temos:

X_t= X_t-2 + e_t-1+e_t = x_t-3+e_t-2+e_t-1+e_t = .... = x_o + Σ (de j=1 até t) e_j.

Iniciando um processo em X₀=0, temos:

E[X_t] = E[0+Σ (de j=1 até t) e_j ] = u*t e Var[X_t] = E[0+Σ (de j=1 até t) e_j ] = σ_e² * t

Dessa forma, como E[X_t] e Var [X_t] dependem de t, consequentemente este processo é não estacionário.

(D) A FAC teórica de um processo MA assume valores no intervalo [0,1].

FALSO! A FAC teórica de um processo MA assume valores no intervalo [-1,1] pois ρ_x = {1, se k =0 ; Σ (de j=0 até q-k) B_jB_j+k/Σ (de j=0 até q-k) B_j ², para k=1,..,9; 0 se k> 9 e ρ(-k), se k<0 }.

(E) Para ser estacionário, a média e a variância NÃO dependem do tempo.

VERDADEIRO! Dado um processo de médias móveis de ordem q =2, temos: X_t = e_t + B₁e_t-1 x₂e_t-2. E como e[x_t]=0 e var[X_t] = (1+b₁²+b₂²)σ_e² e Cov(e_t,e_s) = σ_e quanto t=s e Cov(e_t,e_s) = 0 quando t ≠ s. Logo, a média e a variância são constantes e a covariância não depende de t (t= tempo). O processo é fracamente estacionário para B₁ e B₂. Porém, se E_t's são normalmente distribuídos, os X_t's também serão e, portanto, o processo está estritamente estacionário.

(A) A FAC teórica pode assumir valores de [-1,1].

VERDADEIRO! A FAC teórica pode assumir valores de [-1,1] dependendo do modelo, pois se trata de uma medida de correlação.

(C) Os coeficientes de um processo AR(p) também podem ser estimados pelo método dos mínimos quadrados.

VERDADEIRO!

(F) A FAC do modelo R(2) decai para zero.

FALSO! A FAC do modelo AR(2) decai para zero, porém, não é igual a zero.

(QUESTÃO 02) Escrever como operador retardo.

• AR -> sempre inversível e verificar estacionário.
• MA -> sempre estacionário e verificar inversibilidade.
• ARMA -> verificar os dois.
• ARIMA -> é NÃO estacionário, verificar inversibilidade.

(A) ▽X_t = 0,3▽X_t-1 + e_t -0,6e_t-1 ⇒ ARIMA(1,1,1)

B = 1,67 (O processo é não estacionário, mas é inversível)

(B) X_t = e_t -1,2e_t-1 + 0,3e_t-2 ⇒ MA(2) ⇒ B = 1,67 (O processo é estacionário e inversível)

(C) X_t = 0,5X_t-1 + e_t - 1,3e_t-1 + 0,4e_t-2 ⇒ ARMA(1,2) ⇒ B = 2; B₁ = 1,25 e B₂ = 2 (O processo é estacionário e inversível)

(D) ▽X_t = -0,3▽X_t-1 + e_t + 0,8e_t-1 ⇒ ARIMA(1,1, 1) ⇒ B=1,25 (O processo não é estacionário, mas é inversível)

(E) X_t = X_t-1 + cX_t-2 - cX_t-3 +e_t ⇒ AR(3) ⇒ B = ± 1 e c = 1 (O modelo é inversível por definição, mas não é estacionário)

(QUESTÃO 03) Método Holt-Winters

(A) Os parâmetros de alisamento alpha, gama e sigma, medem a influência das observações passadas na previsão de cada expoente e podem ser obtidas minimizando-se a soma de quadrados dos erros de previsão um passo à frente (ou seja (X_t-1 - X̂_t(1))).

(B) Usamos sazonalidade aditiva no método de Holt-Winters se a amplitude da variação sazonal constante tem um padrão estacionário ao longo do tempo. Ou seja, quando a magnitude do padrão sazonal nos dados não depender da magnitude dos dados.

A magnitude sazonal não muda ao longo do tempo.

Utilizamos sazonalidade multiplicativa no método de Holt-Winters se as amplitudes dependerem ao longo do tempo. Ou seja, a magnitude do padrão sazonal dos dados depende da magnitude dos dados.

Em outras palavras, a magnitude do padrão sazonal aumenta e diminui quando os valores dos dados diminuem.

(QUESTÃO 04) FAC E FACP

(A) AR(1) para alpha = 0,1 há um decaimento exponencial rapidamente para 0 e sua primeira autocorrelação é igual a 1, sua FACP é 0, para ordem k>=2.

Para alpha = 0,99 o decaimento é lento para 0 e sua FACP é 0, para ordem k>= 2.

Para alpha = -0,75, o sinal de autocorrelação altera a cada passo k segundo o comportamento alpha^k, tem decaimento oscilatório tanto para a FAC quanto para o FACP.

(B) MA(3) a função de autocorrelação teórica apresenta autocorrelações "grandes" em valor absoluto até o instante 3. Quando k>3 a sua FACP tem decaimento oscilatório.

(C) As FACs amostrais quando temos um modelo AR(k amostral) com alpha>0 tem decaimento exponencial e FACP 0 quando k>= k amostral. A FAC e FACP amostral do AR(k) com alpha < 0 tem decaimento oscilatório. A FAC de um modelo MA(k amostral) é 0 quando K > k amostral e sua FACP possui decaimento oscilatório.

(QUESTÃO 5) ARIMA(1,1,1)

(A) X_t(1-B) = e_t(1+B)

(B) A série original deve ter apresentado tendência; nesse caso, a função de autocorrelação não deve ter decaído para zero. Diferenciada: FAC decai exponencialmente com lag maior que 1, FACP dominada por decaimento exponencial após o lag 1.

P2:

(QUESTÃO 1)

(A) Em modelos ARMA, o intervalo de previsão às vezes diminui se o horizonte de previsão for grande.

FALSO! Realizando as variâncias dos erros de previsão, podemos perceber que a variância é sempre constante e sempre TENDE a aumentar quando k aumenta. Dessa forma, a variância de previsão sempre tende a aumentar se o horizonte de previsão aumenta.

(B) Para uma série trimestral, uma diferença sazonal ▽₄X_t é equivalente a 4 diferenças simples ▽⁴X_t.

FALSO! pois (1-B)⁴ ≠ (1-B⁴).

(C) Os parâmetros de um processo ARCH(1) com erros normais podem ser estimados sem restrição.

FALSO! O modelo ARCH(1) tem restrições de positividade.

(D) O modelo GARCH(1,1) admite que a variância condicional da série não é constante.

VERDADEIRO!

(E) No modelo X_t = c + t + 0.8t-1 a previsão k passos à frente é igual a c para k > 1.

FALSO!

(QUESTÃO 2)

(a) Obtenha estimativas para φ₁ e φ₂ usando as equações de Yule-Walker.

(b) Descreva matematicamente a estimação por mínimos quadrados:

Defina a soma de quadrados, S()=t=3 100(X_t- ₁X_t-1- ₂X_t-2)². Obtendo a solução de mínimos quadrados, =arg min S().

(c) Descreva matematicamente a estimação por máxima verossimilhança.

Se N(0,σ_e²I_n-p), a função de verossimilhança condicional fica,

L(Φ,σ_e²)=t=3 100 1/(2πσ²)^1/2exp{-1/2σ²(X_t-Σj=1 ²Φ_jX_t-j)²} proporcional a

(σ²)^-49exp{-1/2σ²(y-X)'(y-X)}

A solução de máxima verossimilhança é

Φ̂=(X'X)^-1X'y

σ̂²= 1/98(y-X)'(y-X)=1/98ε'

(QUESTÃO 3)

A) X_t+k=e_t+(Φ₁)e_t+k-1+(Φ₂)e_t+k-2…(Φ_k)e_t+(Φ_k+1)e_t-1... e a previsão k passos X̂_t(k)=E[x_t+k|x_t,x_t-1,...,x_t1]=(Φ_k)e_t+ (Φ_k+1)e_t-1, “e_t+k”=X_t+k-X̂_t(k)=e_t+(Φ₁)e_t+k-1+(Φ₂)e_t+k-2…(Φ_k-1)e_t+1

var(e_t+k)=var(e_t)+(Φ₁)²var(e_t+k-1)+(Φ₂)²var(e_t+k-2)…(Φ_k-1)²var(e_t+1)=>(erros com mesma var)=>σ²(1+(Φ₁)²+(Φ₂)²…(Φ_k-1)²).

B) X̂_t(1)=E[x_t+1|x_t,x_t-1,...,x_t1]=X_t+e_t,X̂_t(2+j)=E[x_t+2+j|x_t+1+j,x_t,...,x_t1]=X_(1+j) ,j=0,1,2,3,...

C)e_t~N(0,1)->ic=(X̂_t(k)±z_α/2√(var(erro_t+k)))

>>> Carlos é nosso pastor, e nada nos faltará! <<<

QUESTÃO 4) SARIMA (p=1,d=1,q=0) x (P=0,D=1,Q=0)s.

(A) (1-α₁B)*(1-B)(1-B²)X_t = e_t.

Em termos do operador retardo, temos:

• Série original: a FAC apresenta um decaimento exponencial para zero, com crescimento a cada instante s. Já a FACP apresenta valores pequenos fora dos instantes fornecidos “S” e valores maiores nos instantes s.
• Série diferenciada: A FAC teórica apresenta oscilação e valores maiores a cada instante s. E sua FACP não apresenta nenhum padrão evidente.

(B) Se o modelo for considerado adequado, espera-se que os resíduos se distribuam aleatoriamente em torno de zero com variância aproximadamente constante e sejam não correlacionados.

(C) Se as autocorrelações residuais são significativas nas defasagens 1, 9 e 12, podemos identificar que essas características não foram adequadamente modeladas. Neste caso, é um indicativo de que mais termos de médias móveis devem ser incluídos no modelo para as defasagens 1 e 12.

A defasagem 9 não está sendo explicada pelo modelo, dessa forma, se r_k for ligeiramente fora dos limites de confiança em defasagens, sem significativo óbvio, não temos uma indicação suficiente para se rejeitar o modelo.