Cálculo do Campo Elétrico: Anéis, Discos e Placas Carregadas
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Exercícios Resolvidos: Campo Elétrico de Distribuições de Carga
Exercício 1
Um condutor em forma de anel com raio R = 3 cm possui uma carga q = +12 × 10-9 C distribuída uniformemente. Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto P sobre o eixo do anel a uma distância x = 50 cm do seu centro.
Solução:
E = (12 × 10-9 C × 0,5 m) / (4π × 8,85 × 10-12 C²/Nm² × (0,5² + 0,03²)3/2) = 4,31 × 10² N/C
Exercício 2
Determine a carga q distribuída em um disco uniforme de raio R = 2 m, que gera um campo elétrico de intensidade E = 5,0 × 105 N/C em um ponto a 10 m sobre o eixo que passa pelo centro do disco.
Solução:
5 × 105 N/C = σ / (2 × 8,85 × 10-12 C²/Nm²) × (1 - 10 / √(10² + 2²))
σ = 4,56 × 10-4 C/m²
Q = σ × A = 4,56 × 10-4 C/m² × π × (2 m)² = 5,73 × 10-3 C
Exercício 3
Determine a intensidade do campo elétrico gerado por um anel carregado, q = +1,00 × 10-12 C, de raio desprezível, em um ponto sobre o eixo do anel a uma distância de 5 m do seu centro.
Solução:
E = (k * q * x) / (x² + R²)^(3/2). Como o raio é desprezível, R ≈ 0.
E = (9 × 109 Nm²/C² × 1,00 × 10-12 C × 5 m) / (5 m)²3/2 = 3,6 × 10-4 N/C
Exercício 4
Um disco carregado circular de raio R = 20 cm possui uma carga q = 10 × 10-5 C e está localizado no plano xz.
a) Calcule a densidade superficial de carga nesse disco.
Solução:
σ = q / A = (10 × 10-5 C) / (π × (0,2 m)²) = 7,96 × 10-4 C/m²
b) Calcule a intensidade, direção e sentido do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto sobre o eixo y positivo a uma distância de 3 m do centro do disco.
Solução:
E = (σ / (2ε0)) × (1 - (y / √(y² + R²)))
E = (7,96 × 10-4 C/m² / (2 × 8,85 × 10-12 C²/Nm²)) × (1 - (3 / √(3² + 0,2²))) = 9,96 N/C
Direção: Ao longo do eixo y positivo.
Exercício 5
Considere um disco circular de raio 50 cm carregado com densidade superficial de carga σ = 2,25 × 10-9 C/m², centrado na origem e no plano xy. Encontre a intensidade, direção e sentido do campo elétrico em P = (0, 0, -3) m.
Solução:
E = (σ / (2ε0)) × (1 - (|z| / √(z² + R²)))
E = (2,25 × 10-9 C/m² / (2 × 8,85 × 10-12 C²/Nm²)) × (1 - (3 / √(3² + 0,5²))) = 1,73 N/C
Direção: Ao longo do eixo z negativo (direção -k).
E = -1,73 N/C k
Exercício 6
Dois discos circulares paralelos de raio R = 1,00 m têm densidades superficiais de carga σ1 e σ2, e estão separados por 5 m. Encontre σ1 em função de σ2, sabendo que o campo elétrico a 2 m do disco de densidade σ1 é nulo.
Solução:
E1 = (σ1 / (2ε0)) × (1 - (2 / √5))
E2 = (σ2 / (2ε0)) × (1 - (3 / √10))
Para que o campo elétrico seja nulo, E1 = E2.
σ1 × (1 - (2 / √5)) = σ2 × (1 - (3 / √10))
σ1 = σ2 × [(√10 - 3) / √10] / [(√5 - 2) / √5] ≈ 0,49σ2
Exercício 7
Considere uma placa infinita (R → ∞) uniformemente carregada, σ = 7,00 × 10-6 C/m². Calcule o campo elétrico gerado em um ponto z distante do centro da placa, onde R >> z.
Solução:
Para uma placa infinita, o campo elétrico é dado por:
E = σ / (2ε0) = (7,00 × 10-6 C/m²) / (2 × 8,85 × 10-12 C²/Nm²) = 3,95 × 105 N/C