Cálculo de Probabilidades: Distribuição Normal e Tabelas

1. Cálculo de Probabilidades com Distribuição Normal Padrão

Utilizando a tabela da distribuição normal padrão, calcule as seguintes probabilidades:

a) P(-1,03 < Z < 1,67)

Para calcular a probabilidade entre dois valores Z, somamos as áreas da média até cada Z-score (se um for negativo e outro positivo) ou subtraímos (se ambos forem do mesmo lado da média).

• P(0 < Z < 1,67) = 0,4525
• P(-1,03 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,03) = 0,3508

Portanto:

P(-1,03 < Z < 1,67) = P(0 < Z < 1,67) + P(0 < Z < 1,03) = 0,4525 + 0,3508 = 0,8033

Ou seja, 80,33%.

b) P(Z > -1,12)

Para calcular a probabilidade de Z ser maior que um valor negativo, somamos a área da média até o valor absoluto de Z com 0,5 (a área da média para a direita).

• P(-1,12 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,12) = 0,3686

Portanto:

P(Z > -1,12) = P(-1,12 < Z < 0) + P(Z > 0) = 0,3686 + 0,5 = 0,8686

Ou seja, 86,86%.

c) P(0,91 < Z < 1,28)

Para calcular a probabilidade entre dois valores Z positivos, subtraímos a área da média até o menor Z da área da média até o maior Z.

• P(0 < Z < 1,28) = 0,3997
• P(0 < Z < 0,91) = 0,3186

Portanto:

P(0,91 < Z < 1,28) = P(0 < Z < 1,28) - P(0 < Z < 0,91) = 0,3997 - 0,3186 = 0,0811

Ou seja, 8,11%.

2. Probabilidades em uma População: Estudo de Daltonismo

Considere uma grande população humana com os seguintes dados sobre daltonismo:

Uma pessoa é escolhida ao acaso dessa população. Calcule as seguintes probabilidades:

a) Probabilidade de ser daltônica

P(Daltônica) = (Número de daltônicos) / (Total da população)

P(Daltônica) = 488 / 10000 = 0,0488 = 4,88%

b) Probabilidade de ser do sexo feminino

P(Feminino) = (Número de indivíduos do sexo feminino) / (Total da população)

P(Feminino) = 4729 / 10000 = 0,4729 = 47,29%

c) Probabilidade de ser daltônica e do sexo masculino

P(Daltônica e Masculino) = (Número de daltônicos masculinos) / (Total da população)

P(Daltônica e Masculino) = 423 / 10000 = 0,0423 = 4,23%

3. Probabilidade da Idade de Aparecimento de Doença

Suponha que a idade para o aparecimento de uma certa doença siga uma distribuição normal com desvio padrão de 3,5 anos. A partir dos cálculos de Z-score fornecidos, inferimos que a média (μ) é de 11,5 anos (pois Z = (11 - 11,5) / 3,5 = -0,14).

a) Probabilidade da idade abaixo de 11 anos

Primeiro, calculamos o Z-score para X = 11 anos:

Z = (X - μ) / σ = (11 - 11,5) / 3,5 = -0,5 / 3,5 ≈ -0,14

Agora, calculamos P(X < 11) = P(Z < -0,14).

P(Z < -0,14) = P(Z > 0,14) = 0,5 - P(0 < Z < 0,14)

Assumindo P(0 < Z < 0,14) = 0,0557 (da tabela):

P(Z < -0,14) = 0,5 - 0,0557 = 0,4443

Ou seja, 44,43%.

Interpretação do resultado: A probabilidade de que a idade de aparecimento da doença seja abaixo de 11 anos é de 44,43%.

b) Probabilidade da idade entre 10 e 12 anos

Calculamos os Z-scores para X = 10 e X = 12 anos:

• Para X = 10: Z₁ = (10 - 11,5) / 3,5 = -1,5 / 3,5 ≈ -0,43
• Para X = 12: Z₂ = (12 - 11,5) / 3,5 = 0,5 / 3,5 ≈ 0,14

Agora, calculamos P(10 < X < 12) = P(-0,43 < Z < 0,14).

P(-0,43 < Z < 0,14) = P(-0,43 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,14)

Assumindo P(0 < Z < 0,43) = 0,1664 e P(0 < Z < 0,14) = 0,0557 (da tabela):

P(-0,43 < Z < 0,14) = 0,1664 + 0,0557 = 0,2221

Ou seja, 22,21%.

Interpretação do resultado: A probabilidade de que a idade de aparecimento da doença esteja entre 10 e 12 anos é de 22,21%.

4. Tempos de Duração dos Efeitos (Configuração)

Admite-se que os tempos de duração dos efeitos de um determinado evento ou substância seguem uma distribuição normal com:

• Média (μ): 20 minutos
• Desvio Padrão (σ): 2,5 minutos

(Nenhuma questão ou cálculo foi fornecido para esta seção, apenas a configuração dos parâmetros da distribuição.)