Conceitos Fundamentais de Lógica, Sequências e Probabilidade

Simbologia e Negação em Lógica Proposicional

Simbologia Lógica:

• ∈: Se somente se (Nota: O símbolo original ↔ é mais comum para 'se e somente se', mas mantendo a estrutura do texto: ∈ – se somente se).
• ∧: E (Conjunção).
• ∨: Ou (Disjunção).
• →: Se... então (Condicional).
• ↔: Se e somente se (Bicondicional).
• ∼: Representa a negação (Negação).

Exemplos de Proposições e Negações:

• A linha do trem passa por Realengo: Proposição “p” com valor lógico (Verdadeiro - V).
• A linha do trem não passa por Realengo: Proposição “∼p” com valor lógico (Falso - F).
• É falso que Realengo é um bairro da Zona Oeste do Rio de Janeiro: Proposição “∼p” com valor lógico (Falso - F).
• Não é verdade que a linha do trem não passa por Realengo: Proposição “∼(∼p)” cujo valor lógico é (Verdadeiro - V).

Exemplo de Negação de Conjunção (Lei de De Morgan):

Para negar a proposição “João é médico e Pedro é dentista” (“p ∧ q”):

1. Nega-se a primeira parte (∼p) = João não é médico;
2. Nega-se a segunda parte (∼q) = Pedro não é dentista;
3. Troca-se E (∧) por OU (∨), e o resultado final será o seguinte: JOÃO NÃO É MÉDICO OU PEDRO NÃO É DENTISTA.

Negação de Proposição Condicional

Negação de uma proposição condicional: ∼(p → q). Como se nega uma condicional? Da seguinte forma:

1. Mantém-se a primeira parte (antecedente);
2. Nega-se a segunda parte (consequente).

Exemplo: Como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?

1. Mantendo a primeira parte: “Chove”
2. Negando a segunda parte: “Eu não levo o guarda-chuva”.

Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.

Na linguagem apropriada, concluímos que: ∼(p → q) = p ∧ ∼ q.

Classificação de Fórmulas Proposicionais

Tautologia

Uma fórmula proposicional é dita como tautológica quando se obtém apenas valores verdadeiros na coluna resultado, independentemente dos valores lógicos dos componentes da fórmula.

Contradição ou Contraválida

Uma fórmula lógica configura-se como uma contradição quando em sua coluna resultado obtiverem valores lógicos falsos, independentemente dos valores das componentes.

Contingência

Diz-se que uma fórmula lógica é uma contingência quando não for uma tautologia ou uma contradição.

Progressões

Progressão Aritmética (PA)

Progressão Aritmética (PA): Progressão Aritmética é uma sequência cuja diferença entre o 2º termo e seu antecessor é constante. Essa diferença se chama razão “r”.

• Quando r > 0, diz-se que a PA é crescente.
• Quando r = 0, diz-se que é constante.
• Quando r < 0, diz-se que a PA é decrescente.

Exemplos:

• (1, 3, 5,...) é uma PA com razão 2.
• (12, 8, 4,...) é uma PA com razão -4.
• (3, 3, 3,...) é uma PA com razão 0.

Fórmula geral: a_n = a_n-1 + r, para todo número natural.

PA Crescente e Decrescente

Progressão aritmética crescente: Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero (r > 0), ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.

Exemplos: P.A. (1, 2, 3, ...), P.A. (15, 21, 27, ...), P.A. (-16, -12, -8). Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4, são todas maiores que zero.

Progressão aritmética decrescente: Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero (r < 0), ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.

Exemplos: P.A. (31, 29, 27, ...), P.A. (75, 68, 61, ...), P.A. (9, 0, -9). Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9, são todas menores que zero.

Progressão Geométrica (PG)

Uma PG pode ser:

• Crescente: se a₁>0 e q>0 ou se a₁< 0 e 0 < q < 1. Exemplos: (3, 6, 12, ...) e (-1, -0,5, -0,25, ...).
• Decrescente: se a₁>0 e 0 < q < 1 ou a₁< 0 e q > 1. Exemplos: (16, 8, 4, 2, 1, 0,5, ...) e (-8, -16, -32, ...).
• Constante: se q=1 ou a₁ = 0. Exemplos: (0, 0, 0, ...) e (2, 2, 2, ...).

Progressão Geométrica Alternante ou Oscilante

Uma progressão geométrica cujos termos alternam ou oscilam de positivo para negativo e vice-versa, é denominada P.G. oscilante ou P.G. alternante. Isto ocorre quando q < 0 e a₁ ≠ 0.

Exemplos: P.G. (-3, 6, -12, ...) (razão q = -2) e P.G. (729, -218,7, 65,61, -19,683, ...) (razão q = -0,3). Em ambos os casos a₁ ≠ 0.

Matrizes e Determinantes

Matrizes

Matriz 2x2, 2x3. O elemento na primeira linha e segunda coluna é denotado como a₁₂ (I elemento 1, j elemento 2).

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado Regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra:

1. 1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira. (RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 16 | DETERMINANTES PÁG. 02).
2. 2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo).
3. 3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo).

Exemplo de Probabilidade

Problema: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

• A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
• B: azul na segunda retirada e P(B/A) = 20/29 (Probabilidade de B dado A)

Assim:

P(A e B) = P(A) . P(B/A) = 10/30 . 20/29 = 200/870 = 20/87