Construções Geométricas: Polígonos Regulares e Tangências

Traçado do Triângulo Equilátero Conhecendo o Lado

1. Desenhe um segmento AB, com o valor do lado dado.
2. Usando sucessivamente centro no vértice A e B, com uma abertura do compasso igual a AB, traçamos dois arcos que determinam o ponto C, o vértice oposto ao lado AB.
3. O triângulo é obtido juntando C com A e B.

Traçado do Quadrado Conhecendo o Lado

1. O lado AB é desenhado com o valor dado.
2. Traça-se uma linha perpendicular em cada um dos vértices A e B. A partir de A, desenha-se uma reta oblíqua que forma um ângulo de 45° com o lado AB. Esta linha determina o ponto C ao cortar a perpendicular traçada em B.
3. Basta traçar uma paralela a AB passando por C para obter o quadrado.

Traçado do Pentágono Regular Conhecendo o Lado

1. O lado AB é desenhado com o valor dado e traça-se a sua bissetriz, obtendo-se o ponto P.
2. Traça-se uma linha perpendicular em B e, a partir deste ponto, com raio BA, traça-se um arco que determina o ponto J ao cortar a perpendicular traçada antes.
3. Com centro em P e raio PJ, desenha-se um arco que corta no ponto M a extensão de AB.
4. Com centro em A e abertura do compasso AM, desenha-se um arco que define o ponto D sobre a bissetriz.
5. Finalmente, traçamos arcos com centro em D, A e B, e raio igual ao lado AB. Estes arcos, cortando-se uns aos outros, determinam os pontos C e E, os vértices do pentágono. O Pentágono é obtido ligando os pontos C, D e E com as extremidades A e B.

Traçado do Hexágono Regular Conhecendo o Lado

O hexágono regular é o único polígono regular em que o lado é igual ao raio da circunferência circunscrita. Isso facilita a construção, porque se for dado o valor do lado ou do raio, podemos sempre construir da mesma forma.

1. Desenhe um círculo de raio r igual ao lado e um diâmetro AD.
2. Com centro em A e raio AO, descreve-se um arco cruzando o círculo nos pontos B e F. Do mesmo modo, com centro em D e raio AO, traça-se um novo arco que corta o círculo nos pontos E e C.
3. Ao ligar esses pontos, obtém-se o hexágono.

Traçado do Heptágono Regular Conhecendo o Lado

1. Desenhe o lado AB e trace uma perpendicular em uma extremidade, por exemplo, B. Traça-se também a bissetriz desse lado.
2. No final A, sobre AB, construímos um ângulo de 30°, estendendo o lado para cortar a perpendicular traçada a partir de B no ponto P. Para este ângulo, utiliza-se o esquadro de 30°.
3. Com centro em A e raio AP, descreve-se um arco para cortar a perpendicular.

[Falta de informação: A construção do heptágono está incompleta.]

Conceitos Fundamentais de Tangência

Diz-se que duas figuras são tangentes se elas têm um ponto em comum, que é conhecido como ponto de contato. A união harmoniosa entre curvas e linhas retas ou curvas entre si é chamada de concordância, e esta ligação deve ocorrer pelo contato. As tangências podem ocorrer entre meios, entre círculos e linhas retas, entre polígonos e linhas, entre círculos e polígonos, etc. No entanto, as tangentes mais comuns em padrões geométricos são aquelas geradas entre linhas e círculos e entre círculos.

Propriedades Básicas das Tangentes

Para determinar o traçado exato das tangentes, devem ser considerados os seguintes teoremas:

• Primeiro Teorema: Uma linha é tangente a um círculo quando tem apenas um ponto (M) em comum, e a linha é perpendicular ao raio do círculo nesse ponto.
• Segundo Teorema: Um círculo é tangente a duas retas que se cruzam se o seu centro estiver localizado na bissetriz do ângulo entre as retas.
• Terceiro Teorema: Dois círculos são tangentes se eles têm um ponto em comum (N) alinhado com os centros dos círculos.

Traçado de uma Tangente a um Círculo Conhecendo um Ponto P Sobre Ele

1. Desenha-se o raio unindo O e P.
2. Em seguida, traça-se, através do ponto P, a linha perpendicular ao raio, que é a tangente r procurada.

Traçado de Duas Tangentes a um Círculo a Partir de um Ponto P Externo

1. Liga-se o ponto P com o centro do círculo, O, e traça-se a mediatriz do segmento OP, obtendo-se o ponto H.
2. Com centro em H e raio HO, desenha-se um arco que intersecta o círculo dado nos pontos M e M', que são os pontos de contato.
3. As retas tangentes r e s são obtidas ligando o ponto P com M e M'.

Desenho de um Círculo de Raio r Conhecido e Tangente a Duas Retas Convergentes (Fig. 4.24)

1. Desenhe a bissetriz do ângulo formado pelas retas.
2. Desenhe uma linha reta paralela a uma das linhas dadas e separada dela pela medida do raio r conhecido. A intersecção O desta paralela com a bissetriz é o centro do círculo a ser traçado.
3. Os pontos de tangência são M e M', que são obtidos traçando os raios perpendiculares às retas r e s.

Desenho de um Círculo que Passa por M e P e é Tangente à Reta r

1. Uma vez que M e P devem ser pontos sobre o círculo que se deseja traçar, o centro tem que estar na mediatriz de MP.
2. Sendo tangente no ponto P sobre a linha r, o centro O do círculo estará localizado na perpendicular traçada a partir de P. O centro O é a intersecção desta perpendicular com a mediatriz de MP.

Traçado de Tangentes Exteriores a Dois Círculos de Raios Conhecidos

1. Ligue os centros O e O' e determine o ponto médio de OO', que chamamos de H.
2. Desenhe um círculo concêntrico ao maior, cujo raio seja igual à diferença entre o raio maior e o menor.
3. Com centro em H e raio HO, traça-se um arco que corta o círculo auxiliar em M e M'.
4. Ligue O a M e O a M', resultando nos pontos U e V na circunferência maior.
5. Traçam-se raios paralelos a OU e OV no círculo menor para obter os pontos S e T.
6. Unindo U com S e V com T, obtemos as linhas tangentes r e s.

Traçado de Tangentes Interiores a Dois Círculos de Raios Conhecidos

1. Ligue os centros O e O' e determine o ponto médio de OO', que é H.
2. Desenhe um círculo auxiliar com raio igual à soma dos raios ($r + r'$) e com centro em O.
3. Desenha-se outro círculo com raio HO e centro H, que corta o círculo auxiliar nos pontos M e M'.
4. Junte os pontos M e M' com O. A intersecção dessas linhas com a circunferência maior define os pontos de contato.

Traçado de um Círculo de Raio r Conhecido Tangente Externamente a Outro Círculo (Fig. 4.28)

1. Estende-se um raio do círculo dado que contém o ponto P.
2. Adiciona-se o raio r a partir de P, obtendo-se o centro O'.
3. Finalmente, traça-se o círculo procurado com centro em O' e raio O'P.

Desenho de um Círculo Tangente a Outro em M e Passando por um Ponto N Interior (Fig. 4.29)

1. Sendo M e N pontos do círculo, o centro estará na mediatriz de MN.
2. Liga-se M com O (centro do círculo dado). O centro O' do círculo procurado é a intersecção da mediatriz de MN com a linha OM. Traça-se o círculo com centro O' e raio O'N.

Desenho de um Círculo de Raio r Conhecido Tangente a um Círculo e a uma Reta

1. Traça-se um arco com centro em O (centro do círculo dado) e tendo como raio a soma do raio do círculo dado com o raio r conhecido ($R + r$).
2. Desenha-se uma linha paralela à reta dada, separada dela pela distância do raio r conhecido. A intersecção desta paralela com o arco é o centro O' do círculo procurado, e os pontos M e N são os pontos de contato.