Critério da Primeira e Segunda Derivada para Análise

Classificado em Física

Escrito em 3 de Novembro de 2025 em português com um tamanho de 10,88 KB

Sinal das Derivadas	Segunda derivada positiva, ou seja, $f^{\prime\prime}(x^*) > 0$	Segunda derivada nula, ou seja, $f^{\prime\prime}(x^*) = 0$	Segunda derivada negativa, ou seja, $f^{\prime\prime}(x^*) < 0$
Primeira derivada positiva, ou seja, $f^\prime(x^*) > 0$	Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para cima (ou seja, é uma função convexa no intervalo analisado)	Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto	Não é ponto crítico; função é crescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para baixo (ou seja, é uma função côncava no intervalo analisado)
Primeira derivada nula, ou seja, $f^\prime(x^*) = 0$	É ponto crítico; a função atinge um mínimo local no ponto $x^*$	É ponto crítico; Se a derivada segunda também for nula, não se pode concluir se é ponto de mínimo, máximo ou sela. No entanto, se $a$ for o ponto em questão e se existir algum número $n$ ∈ N tal que $f^{(k)}(a)=0$ se $k$ ∈ { $1,2,$ … $n-1$ }; $f^{(n)}(a)$ ≠ $0$	É ponto crítico; a função atinge um máximo local no ponto $x^*$
Primeira derivada negativa, ou seja, $f^\prime(x^*) < 0$	Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para cima (ou seja, é uma função convexa no intervalo analisado)	Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto	Não é ponto crítico; função é decrescente neste ponto e gráfico tem concavidade voltada para baixo (ou seja, é uma função côncava no intervalo analisado)

Critério da Derivada de Ordem Superior (f''(x*) = 0)

$f$ tem um **máximo local** em $a$ se $n$ for par e $f^{(n)}(a)<0$ ;
$f$ tem um **mínimo local** em $a$ se $n$ for par e $f^{(n)}(a)>0$ ;
$f$ tem um **ponto de inflexão horizontal** em $a$ se $n$ for ímpar.

Utilizando Derivadas para Esboçar Gráficos de Funções

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um **extremo local** terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de **pontos críticos**. No entanto, nem todos os pontos críticos são extremos locais. Alguns são **pontos de inflexão**.

A **segunda derivada** é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva, o ponto é um **mínimo local**; se negativa, é um **máximo local**. Se for nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme, exceto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

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