Decomposição de Forças — Componentes e Resolução (Exemplos)

Decomposição dos Vetores de Força

Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas.

Conjunto 1

• Força = 180 N

  Fx = −180 × sen 50° = −180 × 0.7660 ⇒ Fx = −137.89 N
  Fy = −180 × cos 50° = −180 × 0.6428 ⇒ Fy = −115.70 N

• Força = 270 N

  Fx = +270 × cos 60° = +270 × 0.5000 ⇒ Fx = +135.00 N
  Fy = −270 × sen 60° = −270 × 0.8660 ⇒ Fy = −233.83 N

• Força = 360 N

  Fx = +360 × cos 25° = +360 × 0.9063 ⇒ Fx = +326.27 N
  Fy = +360 × sen 25° = +360 × 0.4226 ⇒ Fy = +152.14 N

Resolução — Forças em kN

Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas. Resolução:

• Força = 20 kN

  Fx = +20 × cos 40° = +20 × 0.7660 ⇒ Fx = +15.32 kN
  Fy = +20 × sen 40° = +20 × 0.6428 ⇒ Fy = +12.86 kN

• Força = 30 kN

  Fx = −30 × cos 70° = −30 × 0.3420 ⇒ Fx = −10.26 kN
  Fy = +30 × sen 70° = +30 × 0.9397 ⇒ Fy = +28.19 kN

• Força = 42 kN

  Fx = −42 × cos 20° = −42 × 0.9397 ⇒ Fx = −39.47 kN
  Fy = +42 × sen 20° = +42 × 0.3420 ⇒ Fy = +14.36 kN

Elemento BD que exerce força P ao longo de BD

O elemento BD exerce sobre o elemento ABC uma força P dirigida ao longo da linha BD. Sabendo que P deve ter um componente vertical de 960 N:

Py = P × sen 35° = 960 ⇒ P = 960 / sen 35° = 960 / 0.5736 ⇒ P = 1673.71 N
Px = P × cos 35° = 1673.71 × 0.8192 ⇒ Px = 1371.02 N

Cabos de sustentação (BD e poste AC)

O cabo de sustentação BD exerce no poste telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD. Sabendo que P tem um componente de 450 N.

Px = P × sen 35° = 200 ⇒ P = 200 / sen 35° = 200 / 0.5736 ⇒ P = 348.69 N
Py = P × cos 35° = 348.69 × 0.8192 ⇒ Py = 285.63 N

Decomposição da força de 220 N

A força de 220 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a' e b-b'.

F = 220 N
F_aa' = 154 N
Medindo-se F_bb' = 314.6 N, a = 113.3°

F_aa' / sen b = 220 / sen 40 ⇒ sen B = 0.44995 ⇒ B = 26.74°
a + b + 40° = 180° ⇒ a + 26.74° + 40° = 180° ⇒ a = 113.3°
F_bb' / sen A = 220 / sen 40 ⇒ F_bb' / sen 113.3° = 220 / sen 40° ⇒ F_bb' = 220 × sen 113.3° / sen 40° = 314.6 N

Tração nos cabos ligados em C

Dois cabos estão ligados em C e são carregados conforme a figura. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.

tg A = 60 / 63 = 0.9524 ⇒ A = 43.60° ⇒ sen A = 0.6897, cos A = 0.7241

F_CB = F_CB cos A i + F_CB sen A j ⇒ F_CB = 0.7241 F_CB i + 0.6897 F_CB j

tg B = 36 / 48 = 0.75 ⇒ B = 36.87° ⇒ sen B = 0.6, cos B = 0.8

F_CA = −F_CA cos B i + F_CA sen B j ⇒ F_CA = −0.8 F_CA i + 0.6 F_CA j

Força resultante P = 0 i − 2700 j (cargas verticais)
Equilíbrio (R = 0):

Eq. Fx = 0 ⇒ 0.7241 F_CB − 0.8 F_CA + 0 = 0
Eq. Fy = 0 ⇒ 0.6897 F_CB + 0.6 F_CA − 2700 = 0

Da Eq. Fx: F_CB = (0.8 / 0.7241) F_CA = 1.1048 F_CA
Substituindo em Eq. Fy: 0.6897 × 1.1048 F_CA + 0.6 F_CA = 2700 ⇒ F_CA = 1982.41 N
F_BC = 2190.16 N

Quatro elementos de madeira em equilíbrio

Quatro elementos de madeira são unidos com placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio sob a ação de quatro forças mostradas. Sabendo que Fa = 2295 N e Fb = 2160 N, determine as intensidades das outras duas forças.

Fa = Fa cos 30° i − Fa sen 30° j ⇒ Fa = 2295 × 0.8660 i − 2295 × 0.5000 j ⇒ Fa = 1987.53 i − 1147.50 j

Fb = −Fb cos 30° i − Fb sen 30° j ⇒ Fb = −2160 × 0.8660 i − 2160 × 0.5000 j ⇒ Fb = −1870.56 i − 1080.00 j

Fc = Fc cos 45° i + Fc sen 45° j ⇒ Fc = 0.7071 Fc i + 0.7071 Fc j

Fd = −Fd cos 45° i + Fd sen 45° j ⇒ Fd = −0.7071 Fd i + 0.7071 Fd j

Equilíbrio (R = 0):

Eq. Fx: 1987.53 − 1870.56 + 0.7071 Fc − 0.7071 Fd = 0 ⇒ 0.7071 Fc − 0.7071 Fd = −116.97
Eq. Fy: −1147.50 − 1080.00 + 0.7071 Fc + 0.7071 Fd = 0 ⇒ 0.7071 Fc + 0.7071 Fd = 2227.50

Somando as duas equações: 1.4142 Fc = 2110.53 ⇒ Fc = 1492.38 N
Substituindo em 0.7071 Fc + 0.7071 Fd = 2227.50 ⇒ 0.7071 × 1492.38 + 0.7071 Fd = 2227.50 ⇒ Fd = 1657.81 N

Conexão em aeronave: forças P e Q

Duas forças P e Q são aplicadas tal como mostra a figura a uma conexão de uma aeronave. Sabendo que a conexão está em equilíbrio e que P = 1800 N e Q = 2340 N, determine as intensidades das forças exercidas nas hastes A e B.

P = 0 i − 1800 j

Q = 2340 sen 35° i − 2340 cos 35° j ⇒ Q = 1342.17 i − 1916.82 j

Fa = −Fa sen 35° i + Fa cos 35° j ⇒ Fa = −0.5736 Fa i + 0.8192 Fa j

Fb = Fb i + 0 j

Equilíbrio (R = 0):

Eq. Fx: 0 + 1342.17 − 0.5736 Fa + Fb = 0
Eq. Fy: −1800 − 1916.82 + 0.8192 Fa + 0 = 0

Da Eq. Fy: −3716.82 + 0.8192 Fa = 0 ⇒ Fa = 4537.13 N
Substituindo em Eq. Fx: 1342.17 − 0.5736 × 4537.13 + Fb = 0 ⇒ Fb = 1260.33 N

Trampolim — reações em A e B

Duas crianças estão de pé sobre um trampolim, com massa de 65 kg. Sabendo que as massas das crianças em C e D são de 28 kg e 40 kg, determine as reações em A e B.

Equações fornecidas:

1.2 By − 650 × 1.68 − 280 × 2.28 − 400 × 3.28 = 0

1.2 By = 650 × 1.68 + 280 × 2.28 + 400 × 3.28

1.2 By = 3042.40 ⇒ By = 3042.40 / 1.2 = 2535.33 N

Eq. Fy P = 0:

Ay + By − 650 − 280 − 400 = 0

Ay + 2535.33 − 650 − 280 − 400 = 0 ⇒ Ay = −2535.33 + 650 + 280 + 400 = −1205.33 N

Eq. Fx = 0 ⇒ Ax = 0

Observação: Foram corrigidos erros ortográficos, capitalização e formatação para clareza. Mantiveram-se os valores e passos originais, ajustando apresentação e símbolos matemáticos (×, /, ⇒, °) para leitura e indexação SEO.