Dinâmica e Energia em Sistemas Mecânicos Articulados
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1. Análise de Forças em Sistema Articulado
A máquina consiste em uma plataforma e um sistema articulado, com uma força aplicada FDH exercida pelo cilindro e uma força de saída igual e oposta a (1/2)P.
Inicialmente, observa-se que as reações em E e G não realizam trabalho. Sendo y a elevação da plataforma em relação à base, e s o comprimento DH do conjunto cilindro-pistão, escreve-se a equação do trabalho virtual:
δU = 0
(1/2)Pδy + FDHδs = 0
O deslocamento vertical δy da plataforma é expresso em termos do deslocamento angular δθ de EDB como:
y = (EB) senθ = 2a senθ
Assim, δy = 2a cosθ δθ
Analogamente, para expressar δs em termos de δθ, observa-se, pela lei dos cossenos, que:
s2 = a2 + L2 – 2aL cosθ
Derivando, 2sδs = – 2aL(– senθ)δθ
Portanto, δs = [(aL senθ)/s]δθ
Substituindo δy e δs na equação do trabalho virtual:
(1/2)P (2a cosθ δθ) + FDH[(aL senθ)/s]δθ = 0
Simplificando e isolando FDH, obtém-se:
FDH = P(s/L) cotgθ
Com os dados numéricos fornecidos, calculam-se os valores:
- P = mg = 1.000 × 9,81 = 9.810 N = 9,81 kN
- s2 = (0,70)2 + (3,20)2 – 2(0,70)(3,20)cos60° = 8,49. Portanto, s = 2,91 m
- FDH = (9,81)(2,91/3,20)cotg60° = 5,15 kN
2. Análise de Energia em Sistema Mola-Barra
Posição 1: Energia Potencial
Como na Posição 1, conforme a figura mostrada a seguir, a mola está comprimida de 0,025 m, sendo x1 = 0,025 m. Então, a energia potencial elástica é:
Ve = (1/2)kx12 = (1/2)(3,6 × 105)(0,025)2 = 112 J
Escolhendo o nível de referência como ilustrado, a energia potencial gravitacional Vg = 0. Portanto, a energia potencial total na Posição 1 é:
V1 = Ve + Vg = 112 J
Energia Cinética na Posição 1
Como a velocidade na Posição 1 é nula, a energia cinética T1 = 0.
Posição 2: Energia Potencial
A elongação da mola é nula, portanto Ve = 0. Como o centro de gravidade da barra está agora 0,45 m acima do nível de referência, a energia potencial gravitacional é:
Vg = (150)(0,45) = 67,5 J
Assim, a energia potencial total na Posição 2 é: V2 = Ve + Vg = 67,5 J
Energia Cinética na Posição 2
Designando por ω2 a velocidade angular da barra na Posição 2, nota-se que ela girou em torno de O. A velocidade linear v2 é expressa como:
v2 = ω2r = 0,45ω2
O momento de inércia I é:
I = (1/12)ml2 = (1/12)(150/9,81)(1,5)2 = 2,87 kg·m2
A energia cinética total T2 é:
T2 = (1/2)mv22 + (1/2)Iω22 = (1/2)(150/9,81)(0,45ω2)2 + (1/2)2,87ω22 = 2,98ω22
Conservação da Energia
Pela conservação da energia, tem-se:
T1 + V1 = T2 + V2
Substituindo os valores:
0 + 112 = 2,98ω22 + 67,5
Resolvendo para ω2, obtém-se:
ω2 = 3,88 rad/s
Portanto, a velocidade angular é: ω2 = 3,88 rad/s no sentido horário.
Reação na Posição 2
Como ω2 = 3,88 rad/s, as componentes da aceleração de G quando a barra passa pela Posição 2 são:
A aceleração normal an é:
an = rω22 = (0,45)(3,88)2 = 6,78 m/s2
Assim, an = 6,78 m/s2 ↓.