Distribuições Exponencial e Weibull — Testes e Estimação

Lista 04 — Exponencial e Weibull

Exponencial

T ~ Exp(λ)

• f(t) = λ e^-λt, t > 0
• S(t) = e^-λt
• h(t) = λ
• E[T] = 1/λ
• Var[T] = 1/λ²
• Quantil tq = −log(1 − q) / λ
• VMR = 1/λ

Weibull

T ~ W(α, λ)

• f(t) = α λ t^α−1 e^{−λ tα}
• S(t) = e^{−λ tα}
• h(t) = α λ t^α−1
• E[T] = λ^−1/α Γ(1 + 1/α)
• Var[T] = λ^−2/α [Γ(1 + 2/α) − Γ(1 + 1/α)²]

Censura tipo II

A verossimilhança com censura tipo II (r observações de falha e n − r censuradas no tempo t(r)) é:

L(θ) = n! / (n − r)! × ∏_i=1^r f_T(t(i)) × [S(t(r))]^n−r

Exponencial (com censura)

Substituindo f e S pela exponencial,

L(λ) = n! / (n − r)! × ∏_i=1^r (λ e^{−λ t(i)}) × (e^{−λ t(r)})^n−r

Definindo T = Σ_i=1^r t(i) + (n − r) t(r), temos

L(λ) = n! / (n − r)! × λ^r e^{−λ T}

Log-verossimilhança: l(λ) = k + r log λ − λ T

Estimador de máxima verossimilhança (EMV): λ̂ = r / T = r / [Σ_i=1^r t(i) + (n − r) t(r)]

Informação de Fisher: I(λ) = E[−l''(λ)] = r / λ²

Sem censura — Testes para Weibull

Considere a distribuição Weibull com função de risco h(t) = α λ t^α−1, α, λ > 0. Queremos testar:

H0: α = 1 vs H1: α ≠ 1

Verossimilhança

Com θ = (α, λ), a função de verossimilhança é

L(θ) = ∏_i=1ⁿ α λ t(i)^α−1 e^{−λ t(i)α}

Que se rearranja como

L(θ) = αⁿ λⁿ exp{ −λ Σ_i=1ⁿ t(i)^α + (α − 1) Σ_i=1ⁿ log t(i) }

Logo, a log-verossimilhança é

l(θ) = n log λ + n log α − λ Σ t(i)^α + (α − 1) Σ log t(i)

Valores críticos aproximados da distribuição χ² (1): χ²_0.10,1 = 2.704 e χ²_0.05,1 = 3.84.

1. Teste de Wald

Se θ̂ = (θ̂₁, θ̂₂)^T e a matriz de covariância assintótica de θ̂ é C = [ [C₁₁, C₁₂]; [C₁₂, C₂₂] ], então a estatística de Wald para testar θ₁ = θ₁₀ é

W = (θ̂₁ − θ₁₀)² / Var(θ̂₁) ≈ χ²(k)

De modo geral, rejeitamos H0 se W > χ²_1−α(k), onde k é a dimensão do parâmetro testado.

2. Teste escore (score)

Baseado na normalidade assintótica do vetor escore U(θ):

U(θ) ≈ N(0, I(θ))

Particionando U(θ) = (U₁(θ), U₂(θ)) e tomando θ˜₂ como EMV de θ₂ sob H0: θ₁ = θ₁₀, a estatística de escore é

S = U₁(θ˜)^T I₁₁(θ˜)⁻¹ U₁(θ˜) ≈ χ²(k)

Onde U₁ e I₁₁ são avaliados em θ = (θ₁₀, θ˜₂).

3. Razão de Verossimilhança

Se θ˜ é o EMV sob H0 e θ̂ o EMV irrestrito, a estatística de razão de verossimilhança é

RV = −2 [l(θ˜) − l(θ̂)] ≈ χ²(k)

Rejeita-se H0 se RV > χ²_1−α(k).

4. Método delta

Se desejamos estimar uma função dos parâmetros φ = g(θ) e obter o erro padrão de φ̂, usamos o método delta.

Para θ escalar, expandindo g(θ̂) em torno de E[θ̂] = θ:

g(θ̂) ≈ g(θ) + (θ̂ − θ) g'(θ) ⇒ Var[g(θ̂)] ≈ Var(θ̂) [g'(θ)]²

Na versão multivariada, para θ = (γ, α) e φ = g(γ, α),

Var(φ̂) ≈ (∂g/∂α, ∂g/∂γ) Var(θ̂) (∂g/∂α, ∂g/∂γ)^T

Ou explicitamente:

Var(φ̂) ≈ Var(α̂) [∂φ/∂α]² + 2 Cov(α̂, γ̂) [∂φ/∂α][∂φ/∂γ] + Var(γ̂) [∂φ/∂γ]²

Comparação de médias

1. Comparação de duas médias

H0: θ₁ = θ₂ vs H1: θ₁ ≠ θ₂

Estatística (para amostras de falhas de exponencial, por exemplo):

u = θ̂₁ / θ̂₂ ∼ F(2 r1, 2 r2), onde r_i é o número de falhas na amostra i.

Intervalo de confiança para a razão de médias θ₁ / θ₂:

(f₁ * θ̂₂ / θ̂₁ , f₂ * θ̂₂ / θ̂₁)

2. Comparação de m médias

Uma combinação ponderada pode ser definida como

~θ = Σ_i=1^m r_i θ̂_i / Σ_i=1^m r_i

A estatística de razão de verossimilhança para testar igualdade das m médias é

RV = 2 Σ_i=1^m r_i log( ~θ_i ) − 2 Σ_i=1^m r_i log( θ̂_i )

Em que, sob H0, RV ∼ χ²(m − 1).