Distribuições de Probabilidade: Bernoulli, Binomial e Normal

Distribuição de Bernoulli

A Distribuição de Bernoulli descreve um experimento com apenas dois resultados possíveis: (S) Sucesso ou (F) Fracasso.

• p: Probabilidade de Sucesso.
• q: Probabilidade de Fracasso. q = 1 - p.
• Esperança: E(X) = p
• Variância: V(X) = p · q
• Função de Probabilidade: P(X = x) = p^x · q^(1-x) = p^x(1-p)^(1-x)

Distribuição Binomial

Representa o experimento de Bernoulli realizado n vezes de forma independente.

Nota: É necessário determinar primeiro a função de probabilidade.

• Função de Probabilidade: P(X = x) = C(n, x) · p^x · q^(n-x) (Onde C(n, x) é a Combinação de n elementos tomados x a x).
• Esperança: E(X) = n · p
• Variância: V(X) = n · p · q

Distribuição Geométrica

A Variável Aleatória (VA) X é o número de observações de um experimento de Bernoulli até o primeiro sucesso, com probabilidade p.

• Função de Probabilidade: P(X = x) = p · (1-p)^(x-1)
• Esperança: E(X) = 1/p
• Variância: V(X) = (1-p)/p^2

*** Esta distribuição implica reposição.

Distribuição de Pascal (Binomial Negativa)

A Variável Aleatória (VA) X é o número de observações de um experimento de Bernoulli até a ocorrência de k sucessos.

• Função de Probabilidade: P(X = x) = C(x-1, k-1) · p^k · (1-p)^(x-k)
• Esperança: E(X) = k/p
• Variância: V(X) = k · (1-p)/p^2

Diferença entre Binomial e Pascal

A VA da Distribuição Binomial é o número de sucessos em n realizações do experimento. A VA da Distribuição de Pascal é o número de tentativas necessárias para se obter k sucessos.

Distribuição de Poisson

A Variável Aleatória (VA) X é o número de sucessos que ocorrem em um certo intervalo (tempo ou espaço).

O parâmetro λ (Lambda) denota a média de ocorrência de sucessos no intervalo considerado. O valor de e (base do logaritmo natural) é aproximadamente 2,718.

• Esperança: E(X) = λ
• Variância: V(X) = λ

Distribuição Amostral

1) Distribuição Amostral da Média

O Desvio Padrão (Erro Padrão) é dado pela raiz quadrada da variância populacional (σ² ou θ²) dividida pelo tamanho da amostra (n):

σx̄ = √(σ2 / n)

Distribuição Normal

A curva da Distribuição Normal possui dois pontos de inflexão localizados em:

• Média (μ) menos o Desvio Padrão (σ): μ - σ
• Média (μ) mais o Desvio Padrão (σ): μ + σ

Características da Distribuição Normal

A distribuição normal é simétrica. A área abaixo da função de densidade é igual a 1.

A Variável Aleatória Z (Normal Padrão) tem a seguinte distribuição de probabilidade:

Exemplo: X ~ N(4, 9), onde 4 é a média (μ) e 9 é a variância (σ²).