Equações Diferenciais Exatas: Exercícios Resolvidos

Este documento apresenta a resolução detalhada de três exercícios de equações diferenciais exatas, incluindo a verificação da exatidão, a integração para encontrar a função potencial e a aplicação das condições iniciais para determinar a solução particular.

Problema A: (x+y)² dx + (2xy + x² - 1) dy = 0; y(1) = 1

1. Identificação de M(x,y) e N(x,y)

A equação diferencial é da forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0.

• M(x,y) = (x+y)² = x² + 2xy + y²
• N(x,y) = 2xy + x² - 1

2. Verificação de Exatidão

Para que a equação seja exata, devemos ter ∂M/∂y = ∂N/∂x.

• ∂M/∂y = ∂/∂y (x² + 2xy + y²) = 2x + 2y
• ∂N/∂x = ∂/∂x (2xy + x² - 1) = 2y + 2x

Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.

3. Encontrando a Função Potencial f(x,y)

Integramos M(x,y) em relação a x, considerando y como constante:

f(x,y) = ∫ M dx + g(y)
f(x,y) = ∫ (x² + 2xy + y²) dx + g(y)
f(x,y) = ∫ x² dx + 2y ∫ x dx + y² ∫ dx + g(y)
f(x,y) = x³/3 + 2y (x²/2) + y²x + g(y)
f(x,y) = x³/3 + yx² + y²x + g(y)

Agora, derivamos f(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y) para encontrar g'(y):

∂f/∂y = ∂/∂y (x³/3 + yx² + y²x) + g'(y)
∂f/∂y = 0 + x² + 2yx + g'(y)
x² + 2yx + g'(y) = N(x,y)
x² + 2yx + g'(y) = 2xy + x² - 1
g'(y) = 2xy + x² - 1 - x² - 2yx
g'(y) = -1

Integramos g'(y) para encontrar g(y):

g(y) = ∫ -1 dy
g(y) = -y

Substituímos g(y) na função potencial:

f(x,y) = x³/3 + yx² + y²x - y

4. Solução Geral

A solução geral da equação diferencial é f(x,y) = C:

x³/3 + yx² + y²x - y = C

5. Aplicação da Condição Inicial

Utilizamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar o valor de C:

(1)³/3 + (1)(1)² + (1)²(1) - 1 = C
1/3 + 1 + 1 - 1 = C
1/3 + 1 = C
C = 4/3

6. Solução Particular

A solução particular da equação diferencial é:

x³/3 + yx² + y²x - y = 4/3

Problema B: (e^x + y) dx + (2 + x + ye^y) dy = 0; y(0) = 1

1. Identificação de M(x,y) e N(x,y)

• M(x,y) = e^x + y
• N(x,y) = 2 + x + ye^y

2. Verificação de Exatidão

• ∂M/∂y = ∂/∂y (e^x + y) = 1
• ∂N/∂x = ∂/∂x (2 + x + ye^y) = 1

Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.

3. Encontrando a Função Potencial f(x,y)

Integramos M(x,y) em relação a x:

f(x,y) = ∫ M dx + g(y)
f(x,y) = ∫ (e^x + y) dx + g(y)
f(x,y) = ∫ e^x dx + y ∫ dx + g(y)
f(x,y) = e^x + yx + g(y)

Derivamos f(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):

∂f/∂y = ∂/∂y (e^x + yx) + g'(y)
∂f/∂y = 0 + x + g'(y)
x + g'(y) = N(x,y)
x + g'(y) = 2 + x + ye^y
g'(y) = 2 + ye^y

Integramos g'(y) para encontrar g(y). Para ∫ ye^y dy, usamos integração por partes (∫ udv = uv - ∫ vdu):

• u = y ⇒ du = dy
• dv = e^y dy ⇒ v = e^y

∫ ye^y dy = ye^y - ∫ e^y dy = ye^y - e^y

Portanto, g(y) = ∫ (2 + ye^y) dy = 2 ∫ dy + ∫ ye^y dy
g(y) = 2y + ye^y - e^y

Substituímos g(y) na função potencial:

f(x,y) = e^x + yx + 2y + ye^y - e^y

4. Solução Geral

A solução geral é:

e^x + yx + 2y + ye^y - e^y = C

5. Aplicação da Condição Inicial

Utilizamos a condição inicial y(0) = 1:

e⁰ + (1)(0) + 2(1) + (1)e¹ - e¹ = C
1 + 0 + 2 + e - e = C
C = 3

6. Solução Particular

A solução particular é:

e^x + yx + 2y + ye^y - e^y = 3

Problema C: (4y + 2x - 5) dx + (6y + 4x - 1) dy = 0; y(-1) = 2

1. Identificação de M(x,y) e N(x,y)

• M(x,y) = 4y + 2x - 5
• N(x,y) = 6y + 4x - 1

2. Verificação de Exatidão

• ∂M/∂y = ∂/∂y (4y + 2x - 5) = 4
• ∂N/∂x = ∂/∂x (6y + 4x - 1) = 4

Como ∂M/∂y = ∂N/∂x, a equação é exata.

3. Encontrando a Função Potencial f(x,y)

Integramos M(x,y) em relação a x:

f(x,y) = ∫ M dx + g(y)
f(x,y) = ∫ (4y + 2x - 5) dx + g(y)
f(x,y) = 4y ∫ dx + 2 ∫ x dx - 5 ∫ dx + g(y)
f(x,y) = 4yx + 2(x²/2) - 5x + g(y)
f(x,y) = 4xy + x² - 5x + g(y)

Derivamos f(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):

∂f/∂y = ∂/∂y (4xy + x² - 5x) + g'(y)
∂f/∂y = 4x + 0 - 0 + g'(y)
4x + g'(y) = N(x,y)
4x + g'(y) = 6y + 4x - 1
g'(y) = 6y + 4x - 1 - 4x
g'(y) = 6y - 1

Integramos g'(y) para encontrar g(y):

g(y) = ∫ (6y - 1) dy
g(y) = 6 ∫ y dy - ∫ 1 dy
g(y) = 6(y²/2) - y
g(y) = 3y² - y

Substituímos g(y) na função potencial:

f(x,y) = 4xy + x² - 5x + 3y² - y

4. Solução Geral

A solução geral é:

4xy + x² - 5x + 3y² - y = C

5. Aplicação da Condição Inicial

Utilizamos a condição inicial y(-1) = 2:

4(-1)(2) + (-1)² - 5(-1) + 3(2)² - 2 = C
-8 + 1 + 5 + 3(4) - 2 = C
-8 + 1 + 5 + 12 - 2 = C
-7 + 5 + 12 - 2 = C
-2 + 12 - 2 = C
10 - 2 = C
C = 8

6. Solução Particular

A solução particular é:

4xy + x² - 5x + 3y² - y = 8