Estatística: Distribuição Normal e Binomial

26) Seja X o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico, onde X~N(8, 2²).

(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

P(X < 5) = P(Z < (5-8)/2) = P(Z < -1,5) = P(Z > 1,5) = 1 - P(Z ≤ 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668

Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é 6,68%.

(b) E mais do que 9,5 minutos?

P(X > 9,5) = P(Z > (9,5-8)/2) = P(Z > 0,75) = 1 - P(Z ≤ 0,75) = 1 - 0,7734 = 0,2266
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 9,5 minutos é 22,66%.

(c) E entre 7 e 10 minutos?

P(7 < X < 10) = P((7-8)/2 < Z < (10-8)/2) = P(-0,5 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -0,5) =

P(Z < 1) - P(Z > 0,5) = P(Z < 1) - [1 - P(Z ≤ 0,5)] = 0,8413 - (1 - 0,6915) = 0,5328
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos é 53,28%.

(d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

P(X > x) = 0,75 => P(Z > (x-8)/2) = 0,75

x é tal que A(-(x-8)/2) = 0,75
Então,

-(x-8)/2 = 0,67 => x = 8 - 0,67 * 2 = 6,66

Portanto, 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos 6,66 minutos de atendimento.

27) Seja X o peso de coelhos criados em uma granja, onde X ~ N(5; 0,9²).

Classificação do abatedouro:

15% | 50% | 20% | 15%
x₁ x₂ x₃

Seja,
x₁ o valor do peso que separa os 15% mais leves dos demais,
x₂ o valor do peso que separa os 65% mais leves dos demais,
x₃ o valor do peso que separa os 85% mais leves dos demais.

P(X < x₁) = 0,15 => P(Z < (x₁ - 5)/0,9) = 0,15 => (x₁ - 5)/0,9 = -1,04 => x₁ = 5 - 1,04 * 0,9 = 4,064

P(X < x₂) = 0,65 => P(Z < (x₂ - 5)/0,9) = 0,65 => (x₂ - 5)/0,9 = 0,39 => x₂ = 5 + 0,39 * 0,9 = 5,351

P(X < x₃) = 0,85 => P(Z < (x₃ - 5)/0,9) = 0,85 => (x₃ - 5)/0,9 = 1,04 => x₃ = 5 + 1,04 * 0,9 = 5,936

Portanto, temos que os limites dos pesos para cada classificação são:

• Pequenos são os coelhos que possuem peso inferior a x₁, ou seja, X < 4,064 Kg
• Médios são os coelhos que possuem peso entre x₁ e x₂, ou seja, 4,064 Kg < X < 5,351 Kg
• Grandes são os coelhos que possuem peso entre x₂ e x₃, ou seja, 5,351 Kg < X < 5,936 Kg
• Extras são os coelhos que possuem peso acima de x₃, ou seja, X > 5,936 Kg

28) Seja X o volume médio de líquido em cada garrafa, onde X~N(1000, 10²).

(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³?

P(X < 990) = P(Z < (990-1000)/10) = P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Portanto, em 15,87% das garrafas o volume de líquido é menor que 990 cm³.

(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

σ = 10 => 2σ = 20
μ - 2σ = 1000 - 20 = 980 e μ + 2σ = 1000 + 20 = 1020.

P(980 < X < 1020) = P((980 - 1000)/10 < Z < (1020 - 1000)/10) = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) =

P(Z < 2) - P(Z > 2) = P(Z ≤ 2) - [1 - P(Z ≤ 2)] = 2 * P(Z ≤ 2) - 1 = 2 * 0,9772 - 1 = 0,9544

Portanto, em aproximadamente 95,44% das garrafas, o volume de líquido não se desvia da média em mais que dois desvios padrões.

(c) Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 1002 cm³?

P(X > 1002) = P(Z > (1002 - 1000)/10) = P(Z > 0,2) = 1 - P(Z ≤ 0,2) = 1 - 0,5793 = 0,4207

Considere P(X > 1002) = P(sucesso) = p = 0,4207.

Seja Y o número de garrafas, entre 10 selecionadas ao acaso, com volume de líquido superior a 1002 cm³.

Y ~ b(10; 0,4207),
ou seja, a variável aleatória Y tem distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,4207.

A função de probabilidade da variável aleatória Y pode ser obtida no Minitab através dos comandos:
MTB > pdf;
SUBC> bino 10 0,4207.

Obtém-se a seguinte saída:

Probability Density Function

Binomial with n = 10 and p = 0,420700

Assim, a probabilidade de que no máximo 4 garrafas tenham volume de líquido superior a 1002 cm³ é dada por:

P(Y ≤ 4) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) =
= 0,0043 + 0,0309 + 0,1010 + 0,1956 + 0,2486 = 0,5804.

Assim, a probabilidade de que no máximo 4 garrafas tenham volume de líquido superior a 1002 cm³ é 58,04%.

(d) Se garrafas vão sendo selecionadas até aparecer uma com volume de líquido superior a 1005 cm³, qual é a probabilidade de que seja necessário selecionar pelo menos 5 garrafas?

Seja,

p = P(SUCESSO) = P(X > 1005) = P(Z > (1005-1000)/10) = P(Z > 0,5) = 1 - P(Z ≤ 0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085.

(1-p) = P(fracasso) = P(X ≤ 1005) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

Seja T o número de garrafas selecionadas até aparecer uma com volume de líquido superior a 1005 cm³.

P(T ≥ 5) = 1 - P(T < 5)

Temos que:
P(T=1) = p = 0,3085
P(T=2) = (1-p) * p = 0,6915 * 0,3085 = 0,2133
P(T=3) = (1-p)² * p = 0,6915² * 0,3085 = 0,1475
P(T=4) = (1-p)³ * p = 0,6915³ * 0,3085 = 0,1020

Assim,
P(T ≥ 5) = 1 - P(T < 5) = 1 - (P(T=1) + P(T=2) + P(T=3) + P(T=4))
= 1 - (0,3085 + 0,2133 + 0,1475 + 0,1020) = 1 - 0,7713 = 0,2287

A probabilidade de que seja necessário selecionar pelo menos 5 garrafas é 22,87%.

29) Seja,
X_A: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A
X_B: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B

X_A~N(10; 2²)
Lucro_A: 1200 u.m.
Prejuízo_A: 2500 u.m.

X_B~N(11; 3²)
Lucro_B: 2100 u.m.
Prejuízo_B: 7000 u.m.

(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

P(restituição de A) = P(X_A < 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z < -2,0) = 1 - A(2) = 1 - 0,9772 = 0,0228
P(restituição de B) = P(X_B < 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z < -1,67) = 1 - A(1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475

A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B, respectivamente, são 2,28% e 4,75%.

(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

P(não restituição de A) = 1 - P(restituição de A) = 1 - 0,0228 = 0,9772
P(não restituição de B) = 1 - P(restituição de B) = 1 - 0,0475 = 0,9525
Lucro médio de A = 1200 x 0,9772 - 2500 x 0,0228 = 1115,64 u.m.

Lucro médio de B = 2100 x 0,9525 - 7000 x 0,0475 = 1667,75 u.m.

(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro médio de B é maior que o lucro médio de A.