Estimadores de Sobrevivência: Kaplan-Meier e Mais
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LISTA 03
DEFINIÇÃO
1. Estimadores Normais (com Censura) via Métodos não Paramétricos
EXEMPLO: Obtenha os estimadores de sobrevivência para as seguintes informações:
Sabemos que S(t) = nº de indivíduos que não falharam até t / total de indivíduos, quando t > 0. Nesse exemplo, o número total de falhas = 30.
Taxa de falha (intervalar) = TAXA DE FALHA INTERVALAR: [t1,t2): { [S(t1)-S(t2)] / [(t2-t1) * s(t1)] } * 100. OU Nº de falhas no período [a,b) / Nº que não falharam até "a".
| T: T. de Vida | Nº de Falhas | S(t) | Tx. de falha |
|---|---|---|---|
| 0 -> 100 | 2 | 1 | 0.067 |
| 100 -> 200 | 5 | [(5+10+13)/30] = 0.93 | 0.178 |
| 200 -> 300 | 10 | [(10+13)/30] = 0.767 | 0.435 |
| 300 -> 400 | 13 | [(13)/30] = 0.434 | 1 |
2. Estimadores de Kaplan-Meier
Seja nj = número de observações COM e SEM censura antes de "a".
dj = número de observações SEM censura no intervalo [a,b).
E temos os seguintes dados ORDENADOS: 3; 4+; 5.7+; 6.5; 6.5; 8.4+; 10; 10+
n = 8.
| T | Inter. | nj | dj | (1- dj/nj) | S^(t) | F^(t)= 1-s(t) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | [0;3) | 8 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | [3;6.5) | 8 | 1 | (1-1/8)=7/8 | 1*(7/8)=7/8 | 1/8 |
| 6.5 | [6.5;10) | 5 | 2 | (1-2/5)=3/5 | 7/8*3/5 = 21/40 | 19/40 |
| 10 | [10;∞) | 2 | 1 | (1-1/2)=1/2 | 21/40*1/2=21/80 | 59/80 |
3. Estimadores de Nelson-Aalen
Dados: 3; 4+; 5.7+; 6.5; 6.5; 8.4+; 10; 10+.
| T | Inter. | nj | dj | (dj/nj) | H^(t)=Σ dj/nj | S^(t) = exp{-H^(t)} |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | [0;3) | 8 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | [3;6.5) | 8 | 1 | 1/8 | 1/8 | 0.882 |
| 6.5 | [6.5;10) | 5 | 2 | 2/5 | 1/8+2/5= 0.525 | 0.592 |
| 10 | [10;∞) | 2 | 1 | 1/2 | 0.525+1/2=1.025 | 0.359 |
4. Tabela de Vida ou Atuarial
Dados: 3; 4+; 5.7+; 6.5; 6.5; 8.4+; 10; 10+, 12, 15.
Em que cj = Número de censuras no intervalo [a,b).
| T | Inter. | nj | dj | cj | nj* | qj =dj/nj* | 1-qj | S^(t) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | [0;3) | 10 | 0 | 0 | 10 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | [3;6.5) | 10 | 1 | 2 | 9 | 0.111 | 0.889 | 0.889 |
| 6.5 | [6.5;10) | 7 | 2 | 1 | 6.5 | 0.308 | 0.692 | 0.615 |
| 10 | [10;12) | 4 | 1 | 1 | 3.5 | 0.286 | 0.714 | 0.439 |
| 12 | [12;15) | 2 | 1 | 0 | 2 | 0.5 | 0.5 | 0.220 |
| 15 | [15;∞) | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
CONSIDERAÇÕES
- O estimador KM é não viciado para grandes amostras.
- O estimador KM é um estimador de máxima verossimilhança de S(t) e converge assintoticamente para um processo gaussiano.
- O estimador KM é fracamente consistente.
- KM e NA são baseados em intervalos de tamanho igual ao número de tempos de falha distintos, já o atuarial pode ter uma quantidade de intervalo arbitrária. Dessa forma, KM e NA são mais precisos que a atuarial por conterem mais IC's que o atuarial. Porém, o estimador atuarial tem vício menor à medida que o comprimento dos intervalos diminui. Então, para pequenas amostras os seguintes estimadores são melhores, respectivamente: KM << NA << ATUARIAL.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- Probabilidade do paciente após 6.5 meses: Basta calcular s(t)^=s^(6.5)=64.5
- Variância de S(t): Var^(s(t)) = (s^(t))^2 × ∑ (j:tj<t) dj/(nj(nj-dj)) Obs: pega os valores antes do intervalo tj<t.
- IC para S(t): IC[S(6.5)] : IC= s(6.5) + ou - z(α/2) * √(Var^(s(t))).
- Estimativa do tempo médio de vida ^TMV:^TMV = t(1) + ∑ (de j=1 até k-1) s^(t)*[t(j+1)-t(j)]
- Variância da Estimativa do tempo médio de vida:^Var(^tmv) = k/(k-1) * ∑ (j=1 até k-1) Aj^2/(nj(nj-dj))k = Número de falhas (contar repetições e na amostra ordenada)Em que: deve se calcular primeiro os Aj = ^S(t(j))*[t(j+1)-t(j)] +...+ ^S(t(k-1))*[t(k)-t(k-1)].onde o valor de k e o Aj deve ser feito pelo número de observações sem censura ordenado (Não olhar na tabela)
- VARIÂNCIA - Nelson-Aalen:^Var[^S(t)] = [^S(t)]^2 * ∑ (j:tj<t) (dj/nj^2)
- VARIÂNCIA - Atuarial:^Var[^S(t)] = [^S(t)]^2 * ∑ (l=1 até j) ^ql/[nl*(1-^ql)]