Exercícios de Álgebra Linear: Subespaços e Autovalores

Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear

1. Subespaços de R³

Use o teorema para determinar quais dos seguintes são subespaços de R³:

• a) Todos os vetores $(a, 0, 0)$: Sim
• b) Todos os vetores $(a, 1, 1)$: Não
• c) Todos os vetores $(a, b, c)$ com $b = a + c$: Sim
• d) Todos os vetores $(a, b, c)$ com $b = a + c + 1$: Não

2. Subespaços de M₂ₓ₂

Use o teorema para determinar os subespaços de M₂ₓ₂:

• a) Todas as matrizes com entradas inteiras: Não
• b) Todas as matrizes tais que $a + b + c + d = 0$: Sim
• c) Todas as matrizes $2 \times 2$ tais que $\det(A) = 0$: Não
• d) Todas as matrizes da forma : Sim

3. Subespaços de P₃

Use o teorema para determinar os subespaços de P₃:

• a) Polinômios $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$ para $a_0 = 0$: Sim
• b) Polinômios $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$ para $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 0$: Sim
• c) Polinômios $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$ para $a_0, a_1, a_2, a_3$ sendo números inteiros: Não
• d) Polinômios $a_0 + a_1x$ onde $a_0$ e $a_1$ são números reais: Sim

5. Subespaços de Mₙₙ

Use o teorema para determinar quais dos seguintes são subespaços de Mₙₙ:

• a) Matrizes $A$ de tamanho $n \times n$ tais que $tr(A) = 0$: Sim
• b) Matrizes $A$ de tamanho $n \times n$ tais que $A^T = -A$: Sim
• c) Matrizes $A$ de tamanho $n \times n$ tais que $Ax = 0$ tem somente a solução trivial: Não
• d) Matrizes $A$ de tamanho $n \times n$ tais que $AB = BA$ para uma matriz $B$ de tamanho $n \times n$: Sim

7. Combinação Linear em R³

Quais vetores são combinação linear de $u = (0, -2, 2)$ e $v = (1, 3, -1)$?

• a) $(2, 2, 2)$: Sim
• b) $(3, 1, 5)$: Sim
• c) $(0, 4, 5)$: Não
• d) $(0, 0, 0)$: Sim

8. Expressão de Combinações Lineares

Expresse as seguintes combinações lineares de $u = (2, 1, 4)$, $v = (1, -1, 3)$ e $w = (3, 2, 5)$:

• a) $(-9, -7, -15) = -2u + v - 2w$
• b) $(6, 11, 6) = 4u - 5v + w$
• c) $(0, 0, 0) = 0u + 0v + 0w$
• d) $(7, 8, 9) = 0u - 2v + 3w$

10. Combinações Lineares de Matrizes

Quais dos seguintes são combinações lineares de e ?

• i)
• ii)

Questões Teóricas

24. Devemos ter $b = 0$, pois um subespaço deve conter $x = 0$ e, então, $b = a \cdot 0 = 0$.

25. Não, $W_1 \cup W_2$ não é necessariamente um subespaço.

2. Independência Linear em R³

Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R³ são LI (Linearmente Independentes)?

• a) $(4, -1, 2)$, $(-4, 10, 2)$: Não
• b) $(-3, 0, 4)$, $(5, -1, 2)$, $(1, 1, 3)$: Não
• c) $(8, -1, 3)$, $(4, 0, 1)$: Não
• d) $(-2, 0, 1)$, $(3, 2, 5)$, $(6, -1, 1)$, $(7, 0, -2)$: Sim

3. Independência Linear em R⁴

Quais dos vetores em R⁴ são LI?

• a) $(3, 8, 7, -3)$, $(1, 5, 3, -1)$, $(2, -1, 2, 6)$, $(1, 4, 0, 3)$
• b) $(0, 0, 2, 2)$, $(3, 3, 0, 0)$, $(1, 1, 0, -1)$
• c) $(0, 3, -3, -6)$, $(-2, 0, 0, -6)$, $(0, -4, -2, -2)$, $(0, -8, 4, -4)$
• d) $(3, 0, -3, 6)$, $(0, 2, 3, 1)$, $(0, -2, -2, 0)$, $(-2, 1, 2, 1)$

Resposta: Nenhum

1. Operações com Vetores

Sejam $u = (-3, 2, 1, 0)$, $v = (4, 7, -3, 2)$ e $w = (5, -2, 8, 1)$. Encontre:

• a) $v - w = (-1, 9, -11, 1)$
• b) $2u + 7v = (22, 53, -19, 14)$
• c) $-u + (v - 4w) = (-13, 13, -36, -2)$
• d) $6(u - 3v) = (-90, -114, 60, -36)$
• e) $-v - w = (-9, -5, -5, -3)$
• f) $(6v - w) - (4u + v) = (27, 29, -27, 9)$

6. Cálculos de Norma e Vetores

Sejam $u = (4, 1, 2, 3)$, $v = (0, 3, 8, -2)$ e $w = (3, 1, 2, 2)$. Calcule:

• a) =
• b) + = +
• c) + 2 = 4
• d) =
• e) 1/ , 1/ , 2/3 , 2/3
• f) Resultado = 1

1. Equação Característica (Matrizes 2x2)

Encontre a equação característica das matrizes:

• a) → $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$
• b) → $\lambda^2 - 8\lambda + 16 = 0$
• c) → $\lambda^2 - 12 = 0$
• d) → $\lambda^2 + 3 = 0$
• e) → $\lambda^2 = 0$
• f) → $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$

2. Autovalores (Matrizes 2x2)

Encontre os autovalores das matrizes:

• a) → $\lambda = 3, \lambda = -1$
• b) → $\lambda = 4$
• c) → $\lambda = , \lambda = - $
• d) → Não tem autovalores reais
• e) → $\lambda = 0$
• f) → $\lambda = 1$

4. Equação Característica (Matrizes 3x3)

Encontre a equação característica das matrizes:

• a) → $\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$
• b) → $\lambda^3 - 2\lambda = 0$
• c) → $\lambda^3 + 8\lambda^2 + \lambda + 8 = 0$
• d) → $\lambda^3 - \lambda^2 - \lambda - 2 = 0$
• e) → $\lambda^3 - 6\lambda^2 + 12\lambda - 8 = 0$
• f) → $\lambda^3 - 2\lambda^2 - 15\lambda + 36 = 0$