Exercícios de Probabilidade e Distribuição Binomial

Exercícios de Probabilidade e Estatística

1. Distribuição Binomial de Alergias

Seja X o número de moradores que têm alergia.

• p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p = 0,2.
• X ~ b(13; 0,20): a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p = 0,20, com função de probabilidade dada por:

P(X = k) = (n/k) * p^k * (1 - p)^n-k, para k = 0, 1, ..., n.

Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por:

P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526
ou
P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) = 0,2526

2. Estudo sobre Alunos de Cursinho

(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

Seja X o número de alunos que fizeram cursinho.

• p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75.
• X ~ b(16; 0,75): a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = 0,75.

Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por:
P(X ≥ 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252 + 0,2079 + 0,1336 + 0,0535 + 0,0100 = 0,6302

(b) No máximo 13 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a), temos:
P(X ≤ 13) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029
ou
P(X ≤ 13) = 1 - P(X ≥ 14) = 1 - (P(X=14) + P(X=15) + P(X=16)) = 0,8029

(c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a), temos:
P(X = 12) = 0,2252

(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?

Seja Y o número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados: Y ~ B(80; 0,75).

O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por:
μ = E(Y) = n * p = 80 * 0,75 = 60

A variância é dada por:
σ² = Var(Y) = n * p * (1 - p) = 80 * 0,75 * 0,25 = 15

3. Probabilidade de Alfabetização em Populações

Considere os eventos:

• D: as 12 pessoas selecionadas da população A são alfabetizadas.
• E: as 10 pessoas selecionadas da população B são alfabetizadas.
• F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é alfabetizada.

P(F) = 1 - P(F^c) = 1 - P(D ∩ E) = 1 - (P(D) * P(E)) (eventos independentes).

Cálculo da probabilidade de D:

Seja X o número de pessoas alfabetizadas entre as 12 selecionadas da população A: X ~ b(12; 0,9).
P(D) = P(X=12) = (12/12) * 0,90¹² * (1 - 0,90)^12-12 = 0,9¹² = 0,2824

Cálculo da probabilidade de E:

Seja Y o número de pessoas alfabetizadas entre as 10 selecionadas da população B: Y ~ b(10; 0,8).
P(E) = P(Y=10) = (10/10) * 0,80¹⁰ * (1 - 0,80)^10-10 = 0,8¹⁰ = 0,1074

Portanto,
P(pelo menos uma pessoa não seja alfabetizada) = P(F) = 1 - (0,2824 * 0,1074) = 0,9697.

Para responder esta questão, supõe-se que:
a) As duas populações são bem grandes;
b) Os processos de seleção de pessoas das populações A e B são independentes.

4. Análise de Lucro por Muda Produzida

Seja L o lucro por muda produzida:

• L = 3,50 - 1,20 = 2,30 (muda sem ataque)
• L = 3,50 - 1,70 = 1,80 (muda com ataque e recuperada)
• L = 0 - 1,20 = -1,20 (muda com ataque e não recuperada)

O diagrama de árvore (árvore de probabilidades) será:

• Ataque (0,02)
  • Recuperada (0,50) → P(L=1,80) = 0,02 * 0,50 = 0,01
  • Descartada (0,50) → P(L=-1,20) = 0,02 * 0,50 = 0,01
• Sem Ataque (0,98) → P(L=2,30) = 0,98

Assim, a distribuição da variável aleatória lucro por muda produzida é:

(a) Qual é o lucro médio por muda produzida?
O lucro médio é dado por:
E(L) = -1,20 * P(L=-1,20) + 1,80 * P(L=1,80) + 2,30 * P(L=2,30)
E(L) = -1,20 * 0,01 + 1,80 * 0,01 + 2,30 * 0,98 = 2,26
Assim, o lucro médio por muda produzida é de R$ 2,26.

(b) Em uma plantação de 10.000 mudas, qual é o lucro esperado?
10.000 * E(L) = 10.000 * 2,26 = 22.600
Assim, em uma plantação de 10.000 mudas, o lucro esperado é de R$ 22.600,00.

(c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis?
Seja X o número de mudas aproveitáveis.

• p: probabilidade de uma muda ser aproveitável; p = 0,99.
• X ~ b(50; 0,99): a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 50 e p = 0,99.

A probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis é:
P(X ≥ 45) = P(X=45) + P(X=46) + P(X=47) + P(X=48) + P(X=49) + P(X=50)
P(X ≥ 45) = 0,0001 + 0,0015 + 0,0122 + 0,0756 + 0,3056 + 0,6050 ≈ 1 (100%)