Exercícios de Probabilidade e Estatística Aplicada

Problema 1: Análise de Erros em Documentação

A secção de documentação de determinada empresa tem 3 funcionários que cometem, por vezes, determinados erros de arquivo. A percentagem total de documentos arquivados e a percentagem de erros de arquivo, devidos a cada uma das funcionárias, distribuem-se da seguinte forma (sendo que existem valores em falta):

Partindo desta informação, ajude o diretor de serviços a elaborar o relatório de atividades onde deve constar o seguinte:

1. Qual a probabilidade de, escolhido um documento ao acaso, não ter sido cometido algum erro de arquivo?
2. Qual a funcionária com o desempenho mais exemplar?

Resposta:

Papel arquivado por:

• T: "Teresa"
• A: "Ana"
• R: "Raquel"
• E: "Erro"
• Não E: "Não Erro"

Quadro de Probabilidades:

• P(Total Erros): 0.0245
• P(Total Não Erros): 0.9755
• P(Teresa): 0.25
• P(Ana): 0.55
• P(Raquel): 0.20
• P(Teresa e Erro): 0.0075
• P(Ana e Erro): 0.011
• P(Raquel e Erro): 0.006
• P(Teresa e Não Erro): 0.2425
• P(Ana e Não Erro): 0.539
• P(Raquel e Não Erro): 0.194

Cálculos Iniciais:

• P(E|T) = 0.03 ↔ P(E ∩ T) = 0.03 * 0.25 = 0.0075
• P(E|A) = 0.02 ↔ P(E ∩ A) = 0.02 * 0.55 = 0.011
• P(E|R) = 0.03 ↔ P(E ∩ R) = 0.03 * 0.20 = 0.006

a) Probabilidade de não ter sido cometido erro:

P(Não E) = P(Não E ∩ T) + P(Não E ∩ A) + P(Não E ∩ R) = 0.9755

b) Funcionária com desempenho mais exemplar:

Para determinar a funcionária com o desempenho mais exemplar (ou seja, a que tem a maior probabilidade de ter arquivado um documento sem erro, dado que o documento não tem erro), calculamos as probabilidades condicionais:

P(T|Não E) = P(T ∩ Não E) / P(Não E) = 0.2425 / 0.9755 ≈ 0.2486

P(A|Não E) = P(A ∩ Não E) / P(Não E) = 0.539 / 0.9755 ≈ 0.5525

P(R|Não E) = P(R ∩ Não E) / P(Não E) = 0.194 / 0.9755 ≈ 0.1989

Resposta: Ana, pois apresenta a maior probabilidade de ter arquivado um documento sem erro, dado que o documento não tem erro.

Problema 14: Candidatura ao Parlamento Europeu

Para uma candidatura a um emprego no Parlamento Europeu, apresentam-se 2000 candidatos. Numa prova de avaliação geral de conhecimentos, as cotações obtidas por estes candidatos seguem uma distribuição aproximadamente normal com média de 12 valores e desvio padrão de 3 valores.

1. Quantos candidatos obtiveram cotação entre 8 e 12 valores?
2. Sabendo que um candidato teve uma classificação inferior a 10, qual é a probabilidade de esse mesmo candidato ter uma classificação superior a 8?
3. Quantos valores, no máximo, um candidato deve reunir para pertencer aos 50.4% de candidatos com piores resultados?
4. Uma vez que se pretende recrutar 200 indivíduos, indique a nota do último candidato admitido?

Resposta:

Seja X a "pontuação obtida por um candidato numa prova de avaliação". X ~ N(μ=12, σ=3).

a) Candidatos com cotação entre 8 e 12 valores:

P(8 < X < 12) = P((8-12)/3 < Z < (12-12)/3)

↔ P(-1.33 < Z < 0) ≈ 0.4082 (utilizando normalcdf(-1.33, 0))

Número de candidatos: 2000 * 0.4082 = 816.4

Resposta: Aproximadamente 816 candidatos.

b) Probabilidade condicional de classificação:

P(X > 8 | X < 10) = P(8 < X < 10) / P(X < 10)

Primeiro, calcular P(8 < X < 10):

P(8 < X < 10) = P((8-12)/3 < Z < (10-12)/3)

↔ P(-1.33 < Z < -0.67) ≈ 0.1597 (utilizando normalcdf(-1.33, -0.67))

Segundo, calcular P(X < 10):

P(X < 10) = P(Z < (10-12)/3)

↔ P(Z < -0.67) ≈ 0.2514 (utilizando normalcdf(-infinity, -0.67))

Finalmente, P(X > 8 | X < 10) = 0.1597 / 0.2514 ≈ 0.6352

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.6352.

c) Nota máxima para pertencer aos 50.4% piores resultados:

Pretendemos encontrar x tal que P(X < x) = 0.504.

Convertendo para Z-score: Z = invNorm(0.504) ≈ 0.01

Usando a fórmula x = Z * σ + μ:

x = 0.01 * 3 + 12 = 12.03

Nota: P(X < x) = p ↔ zp = invNorm(p); P(X > x) = p ↔ z1-p = invNorm(1-p); x = z * σ + μ

Resposta: Um candidato deve reunir, no máximo, 12.03 valores.

d) Nota do último candidato admitido (top 10%):

Serão recrutados 200 indivíduos de 2000, o que corresponde a 200/2000 = 0.10 ou 10% dos candidatos.

Pretendemos encontrar x tal que P(X > x) = 0.10.

Convertendo para Z-score: Z = invNorm(1 - 0.10) = invNorm(0.90) ≈ 1.28

Usando a fórmula x = Z * σ + μ:

x = 1.28 * 3 + 12 = 3.84 + 12 = 15.84

Resposta: A nota do último candidato admitido será de aproximadamente 15.84 valores.

Problema 15: Tempo de Teste Psicotécnico

Um estudo concluiu que o tempo que os candidatos a um emprego demoram a responder a um teste psicotécnico é uma variável aleatória com distribuição normal de média = 65 minutos e desvio padrão = 10 minutos. Determine a probabilidade de que:

1. A conclusão do teste leve mais do que 93 minutos?
2. A conclusão do teste não leve mais do que uma hora?
3. A conclusão do teste leve entre 63 e 78 minutos?

Resposta:

Seja X o "tempo que um candidato demora a responder a um teste psicotécnico em minutos". X ~ N(μ=65, σ=10).

a) Probabilidade de o teste levar mais de 93 minutos:

P(X > 93) = P(Z > (93-65)/10) = P(Z > 2.8)

≈ 1 - P(Z ≤ 2.8) ≈ 1 - normalcdf(-infinity, 2.8) ≈ 1 - 0.9974 = 0.0026 (utilizando normalcdf(2.8, infinity))

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.0026.

b) Probabilidade de o teste não levar mais do que uma hora (60 minutos):

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ (60-65)/10) = P(Z ≤ -0.5)

≈ normalcdf(-infinity, -0.5) ≈ 0.3085

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.3085.

c) Probabilidade de o teste levar entre 63 e 78 minutos:

P(63 < X < 78) = P((63-65)/10 < Z < (78-65)/10)

↔ P(-0.2 < Z < 1.3) ≈ normalcdf(-0.2, 1.3) ≈ 0.5028

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.5028.

Problema 16: Quocientes de Inteligência (Q.I.)

Admita que num estudo encomendado pelo Ministério da Educação foi possível concluir que os quocientes de inteligência (Q.I.) dos jovens da maior escola secundária da zona centro seguem uma distribuição normal com média 95 e variância 25.

1. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter um Q.I. inferior a 75?
2. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente apresentar um Q.I. maior que 110 mas menor que 125?
3. Sabe-se que um aluno tem um Q.I. inferior a 130. Qual a probabilidade de, nestas circunstâncias, o seu Q.I. ser superior a 120?

Resposta:

Seja X o "Q.I. de um jovem da maior escola secundária da zona centro".

Variância (σ²) = 25 ↔ Desvio Padrão (σ) = √25 = 5.

Assim, X ~ N(μ=95, σ=5).

a) Probabilidade de um Q.I. inferior a 75:

P(X < 75) = P(Z < (75-95)/5) = P(Z < -4)

≈ normalcdf(-infinity, -4) ≈ 0.00003 (muito próximo de zero)

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.00003.

b) Probabilidade de um Q.I. entre 110 e 125:

P(110 < X < 125) = P((110-95)/5 < Z < (125-95)/5)

↔ P(3 < Z < 6) ≈ normalcdf(3, 6) ≈ 0.0013

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.0013.

c) Probabilidade condicional de Q.I.:

P(X > 120 | X < 130) = P(120 < X < 130) / P(X < 130)

Primeiro, calcular P(120 < X < 130):

P(120 < X < 130) = P((120-95)/5 < Z < (130-95)/5)

↔ P(5 < Z < 7) ≈ normalcdf(5, 7) ≈ 0.000000287

Segundo, calcular P(X < 130):

P(X < 130) = P(Z < (130-95)/5)

↔ P(Z < 7) ≈ normalcdf(-infinity, 7) ≈ 0.999999999998

Finalmente, P(X > 120 | X < 130) ≈ 0.000000287 / 0.999999999998 ≈ 0.000000287

Resposta: A probabilidade é extremamente baixa, aproximadamente 0.000000287.

Problema 17: Número de Rapazes em Famílias

Considere que X é uma variável aleatória que representa o número de rapazes em famílias com 6 filhos.

1. Construa a função de probabilidade de X?
2. Sabendo que numa família com 6 filhos, pelo menos 3 são rapazes, calcule a probabilidade de não existirem raparigas?

Resposta:

Seja X o "número de rapazes em famílias com 6 filhos". Assumindo que a probabilidade de nascer rapaz é 0.5, X segue uma distribuição binomial: X ~ B(6; 0.5).

a) Função de probabilidade de X:

A função de probabilidade é dada por P(X=k) = C(n, k) * pk * (1-p)(n-k), onde n=6 e p=0.5.

Tabela de Probabilidades:

(Valores calculados usando binomialpdf(6, 0.5, k))

b) Probabilidade condicional (não existirem raparigas, dado pelo menos 3 rapazes):

Não existirem raparigas significa que todos os 6 filhos são rapazes, ou seja, X=6.

Pelo menos 3 rapazes significa X ≥ 3.

Queremos calcular P(X=6 | X ≥ 3) = P(X=6 ∩ X ≥ 3) / P(X ≥ 3).

Como X=6 implica X ≥ 3, então P(X=6 ∩ X ≥ 3) = P(X=6).

P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

P(X ≥ 3) = 0.3125 + 0.2344 + 0.0938 + 0.0156 = 0.6563

P(X=6 | X ≥ 3) = P(X=6) / P(X ≥ 3) = 0.0156 / 0.6563 ≈ 0.0238

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0.0238.

Problema 18: Lutas Laborais e Greves

Num determinado setor industrial, o objetivo das lutas dos trabalhadores é a obtenção de melhores salários, de melhores condições de trabalho e a modificação da legislação referente a despedimentos dos trabalhadores.

Admita ainda que estas reivindicações são sempre feitas em lutas separadas, recorrendo ou não à greve. Por experiência passada, sabe-se ainda que nas indústrias do referido setor:

• 60% das lutas são por questões salariais.
• 15% devido às condições de trabalho.
• As restantes (25%) são por questões relacionadas com despedimentos.

Sabe-se que as lutas por condições de trabalho são resolvidas sem recurso a greve. As questões relacionadas com o despedimento são resolvidas em 60% dos casos através de greve.

1. O responsável patronal pelo setor industrial em causa deu recentemente uma entrevista a um canal de rádio local, tendo afirmado que os trabalhadores revelam uma grande motivação e que, por isso, o risco de greve é muito ténue, podendo ocorrer marginalmente com uma probabilidade de 10%. Comente esta afirmação do responsável patronal?
2. Se num determinado dia começou com uma greve, determine com que probabilidade é que esta terá tido na sua origem questões salariais?
3. Se, no decurso do presente ano, estiverem empregados no setor 1500 trabalhadores, indique quantos serão aqueles que estarão disponíveis para boicotar o serviço por questões relacionadas com direitos em caso de despedimento?