Exercícios Resolvidos de Álgebra Vetorial
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1. Norma de Vetores
1. Encontre a norma de v: v=(4, -3) v= 
=5
a) (2, 3)= 
b) (-5, 0)= 5 c) (0, 6, 0)= 6
2. Distância entre Pontos
2. Encontre a distância entre P1 e P2:
P1(3, 4) P2(5, 7) d= 
= 
a) (7, -5, 1) (-7, -2, -1) = 
b) (-3, 6) (-1, -4) = 
c) (3, 3, 3) (6, 0, 6) = 3. 
3. Operações com Vetores
3. Sejam u=(2, -2, 3), v=(1, -3, 4) e w=(3, 6, -4). Calcule:
a) 
= 
b) 
+ 
= 
+ 
c) 
+ 2 
= 4. 
d) 
= 
e) 3/
, 6/
, -4/
f) = 1
4. Seja v=(-1, 2, 5), encontre todos os escalares k tais que kV=4. K=4/ 
4. Produto Escalar e Ângulos
6. Encontre u.v
a) u(2, 3) v(5, -7) = -11 b) u(-6, -2) v(4, 0)= -24
c) u(1, -5, 4) v(3, 3, 3)= 0 d) u(-2, 2, 3) v(1, 7, -4)= 0
7. Em cada parte do exercício 6, encontre o cosseno do ângulo u.v/
.
a) -11/
b) -3/
c) 0 d) 0
8. Determine se u e v fazem um ângulo agudo, obtuso ou ortogonal (basta multiplicar u.v):
- a) u=(6, 1, 4) v=(2, 0, -3) - ortogonal
- b) u=(0, 0, -1) v=(1, 1, 1) - obtuso
- c) u=(-6, 0, 4) v=(3, 1, 6) - agudo
- d) u=(2, 4, -8) v=(5, 3, 7) - obtuso
5. Projeções e Componentes Vetoriais
9. Encontre a projeção ortogonal de u em a: u.a/
2.a
a) u=(6, 2) a=(3, -9) = 0 b) u=(-1, -1) a=(-2, 3) = 8/13, -12/13
c) u=(3, 1, -7) a=(1, 0, 5) = -16/13, 0, -80/13 d) u=(1, 0, 0) a=(4, 3, 8) = 16/89, 12/89, 32/89
10. Em cada parte do exercício 9, encontre a componente vetorial de u ortogonal a a: u-proj u
a) (6, 2) b) (-21/13, -14/13) c) (55/13, 1, -11/13) d) (73/89, -12/89, -32/89)
11. Encontre a projeção de u: u.a/ 
a) u=(1, -2) a=(-4, -3) = 2/5 b) u=(5, 6) a=(2, -1) = 4. 
/5 c) u=(3, 0, 4) a=(2, 3, 3) = 18/
d) u=(3, -2, 6) a=(1, 2, -7) = 43/
6. Produto Vetorial e Misto
12. Sejam u(3, 4), v(5, -1), w(7, 1)
a) u.(7v+w)=102 b) (u.w)w=125.
c) u(v.w)=170 d) (uv).w=170
13. Sejam u(3, 2, -1), v(0, 2, -3), w(2, 6, 7)
a) v x w = (36, -6, -4) b) u x (v x w) = (-14, -20, -82) c) (u x v) x w = (27, 40, -42)
d) (u x v) x (v x w) = (0, 176, -264) e) u x (v - 2w) = (-44, 55, -22) f) (u x v) - 2w = (-8, -3, -8)
14. Encontre um vetor que é ortogonal a ambos u e v:
a) (-6, 4, 2) (3, 1, 5) = (18, 36, -18) b) (-2, 1, 5) (3, 0, -3) = (-3, 9, -3)
15. Encontre a área do triângulo dos vértices:
a) p(2, 6, -1) q(1, 1, 1) r(4, 6, 2) = 
/2
b) p(1, -1, 2) q(0, 3, 4) r(6, 1, 8) = 
16. Encontre um vetor que é ortogonal a (2, -3, 5): (1, 1, 1) + (2, -3, 5) = (8, -3, 5)
17. Encontre o produto misto u.(v x w)
a) u(-1, 2, 4) v(3, 4, -2) w(-1, 2, 5) = -10
b) u(3, -1, 6) v(2, 4, 3) w(5, -1, 2) = -110