Exercícios Resolvidos de Cinemática e Mecânica

1. Estudo do Movimento Retilíneo

Um móvel, partindo do repouso e da origem no instante t = 0, desloca-se em uma trajetória retilínea sobre o eixo x, conforme a função horária: x(t) = 2t³ - 3t². Calcular:

• a) Velocidade média no intervalo entre 0s e 5s:
  x(0) = 2(0)³ - 3(0)² = 0 m
  x(5) = 2(5)³ - 3(5)² = 175 m
  Δx = x_f - x_i = 175 - 0 = 175 m
  Δt = t_f - t_i = 5 - 0 = 5 s
  V_m = 175 / 5 = 35 m/s
• b) Velocidade instantânea em t = 3s:
  v(t) = x'(t) = 6t² - 6t
  V = 6(3²) - 6(3) = 54 - 18 = 36 m/s
• c) Aceleração média no intervalo entre 2s e 4s:
  v(2) = 6(2²) - 6(2) = 12 m/s
  v(4) = 6(4²) - 6(4) = 72 m/s
  Δv = v_f - v_i = 72 - 12 = 60 m/s
  Δt = 4 - 2 = 2 s
  A_m = 60 / 2 = 30 m/s²
• d) Aceleração instantânea em t = 1s:
  a(t) = v'(t) = 12t - 6
  a(1) = 12(1) - 6 = 6 m/s²

2. Lançamento de Projétil

No instante t = 0s, um projétil é lançado de um ponto O do solo plano horizontal com velocidade V_i = 115 m/s, formando um ângulo θ com a horizontal. Considere g = 10 m/s², sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6. Determine:

• Componentes da velocidade:
  V_ix = 115 * 0,6 = 69 m/s
  V_iy = 115 * 0,8 = 92 m/s
• a) O tempo total do movimento:
  V_fy = V_iy - g * t_s
  0 = 92 - 10 * t_s → t_s = 9,2 s
  T_total = 9,2 * 2 = 18,4 s
• b) A altura máxima (h_max) em relação ao solo:
  V_iy² = 2 * g * Δy
  92² = 2 * 10 * Δy → 8464 = 20 * Δy
  Δy = 8464 / 20 = 423,2 m
• c) O alcance horizontal:
  A = V_ix * T_total = 69 * 18,4 = 1269,6 metros
• d) O alcance (A) máximo:
  A_max = V_i² / g = 115² / 10 = 1322,5 metros

3. Encontro de Móveis

Dois móveis, A e B, partem de um mesmo ponto no instante t = 0s. O móvel A mantém velocidade constante de 10 m/s. O móvel B parte do repouso e mantém aceleração constante de 0,2 m/s². Sabendo que ambos percorrem a mesma trajetória no mesmo sentido, determine:

• a) O instante e a posição em que B alcança A (encontro):
  Móvel A: x_f = 10t
  Móvel B: x_f = (a/2) * t² = 0,1t²
  Encontro: 10t = 0,1t² → t(0,1t - 10) = 0
  t = 10 / 0,1 = 100 s
  Posição: x_f = 10 * 100 = 1000 m
• b) A velocidade de B no instante da ultrapassagem:
  v_B = a * t = 0,2 * 100 = 20 m/s

4. Queda Livre

Uma pedra é solta a partir do repouso de uma altura de 20 m em relação ao solo:

• a) Tempo para atingir o solo:
  y_f = (g/2) * t² → 20 = 5t²
  t² = 4 → t = 2 s
• b) Velocidade ao atingir o solo:
  V_fy = g * t = 10 * 2 = 20 m/s

5. Medições de Precisão

• Paquímetro: 24,60 ± 0,05 mm
• Micrômetro: 16,98 ± 0,005 mm