Exercícios Resolvidos de Física e Matemática Aplicada

Problema 1: Movimento de Bloco com Atrito em Superfície Horizontal

Um bloco de massa 10 kg (utilizado no cálculo da energia cinética) ou 15 kg (implícito no cálculo da força normal) move-se em uma superfície sob a ação de uma força de 80 N (utilizada nos cálculos) que forma um ângulo de 60° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,400. Determine a velocidade final do bloco, partindo do repouso, após um deslocamento de 20 m.

Resolução:

Cálculo do Peso (P):

P = m · g → 10 kg · 10 m/s² → P = 100 N

Cálculo da Força Normal (N):

N + F sen(60°) = P

N + 80 N · sen(60°) = 150 N (Assumindo P = 150 N para esta etapa)

N ≅ 30,7 N

Cálculo da Força de Atrito (F_at):

F_at = μ · N → 0,400 · 30,7 N → F_at = 12,3 N

Aplicação do Teorema da Energia Cinética:

W_Fat + W_N + W_P + W_F = (m (V_F² - V_i²))/2

-F_at · Δx + 0 + 0 + F · Δx · cos(60°) = (10 kg · V_F²)/2

-12,3 N · 20 m + 0 + 0 + 80 N · 20 m · cos(60°) = (10 kg · V_F²)/2

V_F ² ≅ 110,8

V_F ≅ 10,5 m/s

Nota: Houve uma inconsistência nos valores de massa e peso utilizados nas diferentes etapas do problema original. A resolução segue os valores numéricos apresentados nas equações.

Problema 2: Movimento de Bloco em Plano Inclinado

Um bloco de massa 5 kg é lançado sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30° com a horizontal. Se a velocidade de lançamento do bloco é de 5 m/s (valor utilizado nos cálculos), ele percorre 2 m plano acima, para no topo e desliza em seguida de volta até a base do plano.

Questão:

Determine o módulo da força de atrito atuante sobre o bloco durante seu movimento de subida no plano.

Resolução:

Cálculo do Peso (P):

P = m · g → 5 kg · 10 m/s² → P = 50 N

Aplicação do Teorema da Energia Cinética:

W_Fat + W_N + W_P = (m (V_F² - V_i²))/2

F_at · Δx + 0 + P · Δx · cos(120°) = (5 kg · (0² - 5²))/2

F_at · 2 m + 50 N · 2 m · cos(120°) = (5 kg · (0 - 25))/2

2 · F_at + 100 · (-0,5) = -125/2

2 · F_at - 50 = -62,5

2 · F_at = -12,5

F_at ≅ -6,25 N

Nota: O sinal negativo para F_at indica que a força de atrito se opõe ao movimento, o que é esperado. O módulo da força de atrito é 6,25 N.

Problema 3: Calibração de Termômetro Caseiro

Para calibrar um termômetro caseiro de coluna de álcool isopropílico para uma feira de ciências, um aluno percebeu que o termômetro apresentava uma coluna de 8 cm para uma temperatura de 60 °C, e que para cada aumento de 6 °C a altura aumentava 1 cm.

Questão 1: Obtenção da Função Temperatura (T) em Relação à Altura (H)

Obtenha a temperatura T, em graus Celsius (°C), em função da altura H, em centímetros (cm).

Resolução:

Pontos conhecidos (Temperatura, Altura): (60, 8) e (60+6, 8+1) = (66, 9)

Utilizando a fórmula da reta (y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1):

(T - 66) / (60 - 66) = (H - 9) / (8 - 9)

(T - 66) / (-6) = (H - 9) / (-1)

-(T - 66) = -6(H - 9)

-T + 66 = -6H + 54

-T = -6H + 54 - 66

-T = -6H - 12

T = 6H + 12

Questão 2: Determinação da Temperatura para uma Dada Altura

Determine a temperatura correspondente a uma altura de 10 cm da coluna (valor utilizado nos cálculos).

Resolução:

T = 6H + 12

T = 6 · 10 + 12

T = 72 °C

Questão 3: Determinação da Altura para uma Dada Temperatura

Determine a altura da coluna correspondente a uma temperatura de 80 °C.

Resolução:

80 = 6H + 12

80 - 12 = 6H

68 = 6H

H = 68 / 6

H ≅ 11,33 cm

Problema 4: Temperatura de Equilíbrio em Mistura de Gelo e Água

Em um laboratório, um estudante misturou 120 g de gelo a -30 °C com 120 g de água a 40 °C no interior de um calorímetro de capacidade térmica desprezível. Determine a temperatura de equilíbrio da mistura, em graus Celsius (°C).

Resolução:

Para determinar a temperatura de equilíbrio, vamos calcular a quantidade de calor necessária para levar o gelo a 0 °C e derretê-lo, e a quantidade de calor que a água pode ceder ao resfriar até 0 °C.

Calor para elevar a temperatura do gelo de -30 °C para 0 °C (Q₁):

Q₁ = m_gelo · c_gelo · ΔT

Q₁ = 120 g · 0,5 cal/g°C · (0 - (-30)) °C

Q₁ = 1800 cal

Calor para derreter o gelo a 0 °C (Q₂):

Q₂ = m_gelo · L_fusão

Q₂ = 120 g · 80 cal/g

Q₂ = 9600 cal

Calor total necessário para o gelo atingir 0 °C e derreter (Q_{gelo_total}):

Q_{gelo_total} = Q₁ + Q₂

Q_{gelo_total} = 1800 cal + 9600 cal

Q_{gelo_total} = 11400 cal

Calor cedido pela água ao resfriar de 40 °C para 0 °C (Q₃):

Q₃ = m_água · c_água · ΔT

Q₃ = 120 g · 1 cal/g°C · (0 - 40) °C

Q₃ = -3000 cal

Conclusão:

Comparamos o calor que o gelo precisa para derreter completamente (Q_{gelo_total}) com o calor que a água pode ceder ao resfriar até 0 °C (|Q₃|).

Como |Q₃| (3000 cal) < Q_{gelo_total} (11400 cal), a água não tem calor suficiente para derreter todo o gelo e elevar sua temperatura. Isso significa que a temperatura final de equilíbrio será 0 °C, com parte do gelo ainda presente.

|Q₃| < Q₁ + Q₂ → &therefore; T_E = 0 °C