Exercícios Resolvidos: Modelos ARMA e Previsão de Séries Temporais
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Questão 1: Verdadeiro ou Falso
(A) Um modelo com AIC negativo pode ser considerado ruim em termos de ajuste.
FALSO! O pior AIC em termos de ajuste é aquele que possui o maior valor, independentemente de assumir valores positivos ou negativos. O objetivo é minimizar o AIC.
(B) Para uma série trimestral, uma diferença sazonal ▽₄Xₜ é equivalente a 4 diferenças simples ▽₄Xₜ.
FALSO! Pois (1-B⁴) = (1+B²)(1-B²) = (1-B)(1+B)(1+B²). Logo: (1-B⁴) ≠ (1-B)⁴.
(C) Os critérios de informação só podem ser utilizados se os dados tiverem distribuição normal.
FALSO! Os critérios de informação podem ser usados para quaisquer distribuições.
(D) Um modelo ARMA com BIC próximo de zero pode ser considerado ruim em termos de ajuste.
FALSO! Depende da comparação em relação a outro valor de BIC, que pode ter um ajuste pior. O objetivo é minimizar o BIC.
(E) No modelo Xₜ = c + e(t) + 0.8e(t-1), a previsão k passos à frente é igual a c para k > 1.
VERDADEIRO! Pois:
- X̂ₜ(1) = E(Xₜ₊₁|Dₜ) = E(c + e(t+1) + 0.8e(t)|Dₜ) = c + 0.8e(t)
- X̂ₜ(2) = E(Xₜ₊₂|Dₜ) = E(c + e(t+2) + 0.8e(t+1)|Dₜ) = c
- Portanto, X̂ₜ(K) = c para K > 1.
(F) Em um modelo AR estacionário, o intervalo de previsão às vezes diminui se o horizonte de previsão for grande.
FALSO! No modelo AR estacionário, o intervalo de previsão sempre aumenta se o horizonte de previsão for grande.
Questão 2: Modelo MA(2)
Dado Xₜ = e(t) + Θ₁e(t-1) + Θ₂e(t-2) → MA(2).
(A) Obter previsões k passos à frente em t=n, para k=1, 2 e > 2.
Sabemos que para um modelo MA(q), a previsão k passos à frente é dada por:
X̂ₜ(K) = Σᵢ₌ₖq Θᵢe(t+k-i) quando K ≤ q e 0 quando K > q, com K = 1, ..., q.
Dessa forma, para um modelo MA(2) (q=2), obtemos que:
- Para k=1: X̂ₜ(1) = Θ₁e(t) + Θ₂e(t-1)
- Para k=2: X̂ₜ(2) = Θ₂e(t)
- Para k>2: X̂ₜ(K) = 0
Estas são as previsões k passos à frente quando t=n para K = 1, ..., q.
(B) A variância do erro de previsão para K > 2.
Para um modelo MA(q), a variância do erro de previsão k passos à frente é dada por:
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = (1 + Ψ₁² + ... + Ψ²k-1)σₑ².
Para K > q (neste caso, K > 2), o erro de previsão é simplesmente Xₜ₊ₖ, pois X̂ₜ(K) = 0. Assim, a variância do erro de previsão é a variância de Xₜ₊ₖ.
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = Var[Xₜ₊ₖ] = (1 + Θ₁² + Θ₂²)σₑ², para K > 2.
(C) Previsões para Xₜ = e(t) - 1.2e(t-1) + 0.36e(t-2).
Neste caso, Θ₁ = -1.2 e Θ₂ = 0.36.
- X̂ₜ(1) = -1.2e(t) + 0.36e(t-1)
- X̂ₜ(2) = 0.36e(t)
- X̂ₜ(3) = 0 (pois k=3 > q=2)
Questão 3: Modelo ARMA(1,1) e MA(∞)
Dado Xₜ = αXₜ₋₁ + e(t) + Θe(t-1) → MA(∞), com Ψⱼ = αʲ(α + Θ) para j ≥ 1 e Ψ₀ = 1.
(A) Expressão da variância do erro de previsão X(t+k) - X̂ₜ(K).
Para um modelo MA(∞) na forma Xₜ = Σᵢ₌₀∞ Ψᵢe(t-i), onde Ψ₀ = 1, o erro de previsão k passos à frente é:
Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K) = e(t+k) + Ψ₁e(t+k-1) + ... + Ψk-1e(t+1).
A variância do erro de previsão é, portanto:
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = Var[e(t+k) + Ψ₁e(t+k-1) + ... + Ψk-1e(t+1)]
= (1² + Ψ₁² + ... + Ψ²k-1)σₑ²
= σₑ² Σᵢ₌₀k-1 Ψᵢ², onde Ψ₀ = 1.
(B) Obter previsões X̂ₜ(k) para horizontes k=1 e k>1.
Para um modelo MA(∞) na forma Xₜ = Σᵢ₌₀∞ Ψᵢe(t-i), a previsão k passos à frente é:
X̂ₜ(k) = E[Xₜ₊ₖ|Dₜ] = Σᵢ₌ₖ∞ Ψᵢe(t-(i-k)).
- Para k=1: X̂ₜ(1) = Ψ₁e(t) + Ψ₂e(t-1) + Ψ₃e(t-2) + ...
- Para k>1: X̂ₜ(k) = Ψₖe(t) + Ψk+1e(t-1) + Ψk+2e(t-2) + ...
Questão 4: Modelo AR(1)
Dado Xₜ = αXₜ₋₁ + e(t), com α = 0.9.
(A) A previsão K passos à frente em t=n.
- X̂ₜ(1) = αXₜ
- X̂ₜ(2) = αX̂ₜ(1) = α(αXₜ) = α²Xₜ
- X̂ₜ(K) = αᵏXₜ
(B) A variância do erro de previsão.
Para um modelo AR(1) estacionário, o erro de previsão k passos à frente é:
Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K) = e(t+k) + αe(t+k-1) + ... + αk-1e(t+1).
A variância do erro de previsão é:
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = Var[e(t+k) + αe(t+k-1) + ... + αk-1e(t+1)]
= (1² + α² + ... + (αk-1)²)σₑ²
= (Σᵢ₌₀k-1 α2i)σₑ²
Utilizando a soma de uma série geométrica, temos:
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = (1 - α2k) / (1 - α²) σₑ²
Substituindo α = 0.9:
Var[Xₜ₊ₖ - X̂ₜ(K)] = (1 - (0.9)2k) / (1 - (0.9)²) σₑ²
= (1 - (0.9)2k) / (1 - 0.81) σₑ²
= (1 - (0.9)2k) / 0.19 σₑ²