Exercícios Resolvidos de Probabilidade e Estatística

QUESTÃO 01: Probabilidade em Conjuntos

Uma pesquisa realizada entre 300 alunos de turismo mostrou que 150 preferem Estatística, 100 preferem Cartografia e 80 preferem Estatística e Cartografia. Calcule a probabilidade de um aluno:

1. Prefere estudar Estatística (P(E))

   P(E) = = 0,50

2. Não prefere estudar Cartografia (P(C'))

   P(C') = 1 - P(C). P(C) = 100/300.

   P(C') = = 0,66

3. Prefere estudar Cartografia ou Estatística (P(C∪E))

   P(C∪E) = P(C) + P(E) - P(C∩E)

   P(C∪E) = = 0,56

QUESTÃO 02: Probabilidade Condicional

A probabilidade de um país facilitar o visto é de 85%. A probabilidade de entrar neste país atualmente é de 38%. A probabilidade de facilitar o visto e entrar nesse país é de 74%. Dado que o país facilitou a entrada em 2013, qual é a probabilidade de entrar nesse país? A probabilidade de entrar no país e a facilitação para entrar nele são condicionadas?

• F = Facilitar o visto
• E = Entrar no país

P(F) = 0,85

P(E) = 0,38

P(F∩E) = 0,74

Cálculo da Probabilidade Condicional P(E|F)

= = 0,8705 (Primeira Resposta)

Verificação de Condicionalidade

P(E) = 0,38

P(E|F) = 0,8705

P(E) ≠ P(E|F)

Segunda Resposta: A probabilidade de entrar no país é diferente da probabilidade de entrar no país dado que foi facilitada a concessão do visto. Portanto, os eventos são condicionados.

QUESTÃO 03: Teorema de Bayes

A probabilidade de a Rússia facilitar a concessão de visto aos americanos em 2014 é de 80%. Dado que a Rússia facilitou a concessão de visto aos americanos em 2014, a probabilidade da entrada de americano na Rússia fica em 90%. Em caso de não facilitação, esta probabilidade é de 36%. Um americano conseguiu visto para entrar na Rússia em 2014. Qual a probabilidade da Rússia ter facilitado a concessão de visto?

Cálculo (P(F|E))

P(F|E) =

P(E) = P(E|F) * P(F) + P(E|F') * P(F')

P(E) = (0,90 * 0,8) + (0,36 * 0,20) = 0,792

= 0,9090 ou 0,91

Resposta: A probabilidade da Rússia ter facilitado o visto, dado que o americano entrou no país, é de 0,91 ou 91%.

QUESTÃO 04: Distribuição de Probabilidade Discreta

O problema aborda o tempo de uso da internet, com foco em redes sociais (22%). São seis casos de Variável Aleatória (Va(x)): 6, 5, 4, 3, 2, 1, com as respectivas probabilidades (P(x)): 22%, 21%, 20%, 19%, 13%, 5%. Para o cálculo, as porcentagens são convertidas para números decimais (ex: 22% = 0,22).

a) Monte a distribuição de probabilidade:

b) Distribuição acumulada F(x):

c) Calcular a Esperança Matemática (E[X]):

A Esperança Matemática (Média) é E[X] = 4,05.

d) Calcule o Desvio Padrão (σ):

Cálculo da Variância (Var[X]):

Cálculo do Desvio Padrão (σ):

QUESTÃO 05: Distribuição Binomial

A fórmula da Distribuição Binomial é dada por:

P(X=x) = * *

Chegaram ao Brasil 60.088 turistas, dos quais 1.583 possuem permanência regularizada. Selecionando 100 turistas ao acaso, qual é a probabilidade de 4 turistas terem sua permanência regularizada?

(Nota: Os números 60.088 e 1.583 podem variar ligeiramente em diferentes versões do problema.)

Definição de Variáveis:

• População Total (N): 60.088 turistas
• Sucessos na População (K): 1.583 (Permanências Regularizadas - PR)
• Amostra (n): 100
• Sucessos Desejados (X): 4

Cálculo da Probabilidade de Sucesso (p):

P(Sucesso) = P(PR) = = 0,0263

(Nota: O cálculo a seguir utiliza p ≈ 0,03 para simplificação, conforme indicado no texto original.)

Aplicação da Fórmula Binomial (X=4):

P(X=4) =

Na prova, a representação será: P(X=4) =

Na calculadora (usando p=0,03): 100 4 • 0,03^4 • 0,97^96 = 17,06%