Exercícios Resolvidos de Termodinâmica de Gases Ideais

Cálculo da Temperatura Final de um Gás Ideal

Enunciado: Se 6,00 moles de um gás ideal estão num cilindro com um pistão móvel numa extremidade. A temperatura inicial do gás é de 27,0 °C e a pressão é constante. Como parte de um projeto de máquina, calcule a temperatura final do gás, uma vez que este realizou 1,75 × 10³ J de trabalho.

Dados:

• n = 6,00 moles (processo isobárico)
• Ti = 27,0 °C = 300,15 K
• P = constante
• W = 1,75 × 10³ J

Cálculo:

Para um processo isobárico, o trabalho realizado pelo gás é dado por: W = nR(Tf - Ti). Isolando a temperatura final (Tf):

Tf = (W / nR) + Ti
Tf = (1750 J / (6,00 mol * 8,314 J/mol·K)) + 300,15 K
Tf = 35,08 K + 300,15 K

Resultado:

Tf = 335,23 K

Problema 8.19: Trabalho em Processo Cíclico

Enunciado: a) Na Figura 19.8a, considere o ciclo fechado 1 → 3 → 2 → 4 → 1. Este é um processo cíclico no qual os estados inicial e final são os mesmos. Calcule o trabalho total realizado pelo sistema neste processo e mostre que é igual à área delimitada pelo ciclo. b) Qual é a relação entre o trabalho realizado pelo processo da parte (a) e o trabalho realizado se o ciclo for percorrido na direção oposta, 1 → 4 → 2 → 3 → 1? Explique.

Análise do Processo (Ciclo 1 → 3 → 2 → 4 → 1):

• 1 → 3: Processo isobárico (P = P₁)
• 3 → 2: Processo isocórico (V = V₂)
• 2 → 4: Processo isobárico (P = P₂)
• 4 → 1: Processo isocórico (V = V₁)

Resolução:

a) Trabalho no ciclo 1 → 3 → 2 → 4 → 1

O trabalho total (Wt) é a soma do trabalho em cada etapa. O trabalho em processos isocóricos é zero.

Wt = W₁→₃ + W₂→₄ = P₁(V₂ - V₁) + P₂(V₁ - V₂)
Wt = P₁(V₂ - V₁) - P₂(V₂ - V₁)
Wt = (P₁ - P₂)(V₂ - V₁)

Este resultado corresponde à área do retângulo no diagrama pV.

b) Trabalho no ciclo 1 → 4 → 2 → 3 → 1

O trabalho total é:

Wt = W₄→₂ + W₃→₁ = P₂(V₂ - V₁) + P₁(V₁ - V₂)
Wt = (P₂ - P₁)(V₂ - V₁)

Explicação:

O trabalho no ciclo inverso é o negativo do trabalho no ciclo original. A magnitude (a área) é a mesma, mas o sinal muda.

Problema 19.17: Análise de um Ciclo Termodinâmico

Enunciado: Um sistema percorre o ciclo da Figura 19.23. O valor absoluto da transferência de calor durante um ciclo é 7200 J.

1. O sistema absorve ou libera calor quando percorre o ciclo na direção indicada? Como sabe?
2. Qual o trabalho W realizado pelo sistema num ciclo?
3. Se o sistema percorrer o ciclo no sentido anti-horário, ele absorve ou libera calor? Qual a magnitude do calor?

Resolução:

a) Um ciclo no sentido horário num diagrama pV realiza trabalho positivo (W > 0). Pela primeira lei da termodinâmica para um ciclo (ΔU = 0), Q = W. Portanto, Q > 0, o que significa que o sistema absorve calor.

b) Como ΔU = 0, Q = W. Dado que o sistema absorve 7200 J de calor, o trabalho realizado é W = 7200 J.

c) No sentido anti-horário, o trabalho é negativo: W = -7200 J. Portanto, Q = -7200 J. O sistema libera 7200 J de calor.

Problema 19.21: Aquecimento de Ar em Cilindro

Enunciado: Para simular condições num motor, 645 J de calor são transferidos para 0,185 moles de ar num cilindro de 40,0 cm³. Inicialmente, o ar está a 3,00 × 10⁶ Pa e 780 K. Suponha que o ar é nitrogénio puro.

1. Se o volume do cilindro for fixo, qual a temperatura final do ar? Desenhe um gráfico pV.
2. Calcule a temperatura final se o volume puder aumentar a pressão constante. Desenhe um gráfico pV.

Dados:

• Q = 645 J
• n = 0,185 mol
• Vi = 40,0 cm³
• Pi = 3,00 × 10⁶ Pa
• Ti = 780 K
• Para N₂: Cv = 20,76 J/mol·K, Cp = 29,07 J/mol·K

Resolução:

a) Volume Constante (Processo Isocórico)

Q = nCvΔT = nCv(Tf - Ti)
ΔT = Q / (nCv) = 645 J / (0,185 mol * 20,76 J/mol·K) = 167,97 K
Tf = Ti + ΔT = 780 K + 167,97 K
Tf = 947,97 K

O gráfico pV é uma linha vertical para cima.

b) Pressão Constante (Processo Isobárico)

Q = nCpΔT = nCp(Tf - Ti)
ΔT = Q / (nCp) = 645 J / (0,185 mol * 29,07 J/mol·K) = 119,89 K
Tf = Ti + ΔT = 780 K + 119,89 K
Tf = 899,89 K

O gráfico pV é uma linha horizontal para a direita.

Problema 19.27: Compressão Isotérmica

Enunciado: A temperatura de 0,150 moles de gás ideal é mantida constante a 77,0 °C, enquanto o seu volume é reduzido para 25,0% do volume inicial. A pressão inicial é de 1,25 atm.

1. Determine o trabalho realizado pelo gás.
2. Determine a variação da energia interna.
3. O gás troca calor com a vizinhança? Quanto e em que sentido?

Dados:

• T = 77,0 °C = 350,15 K (constante)
• n = 0,150 mol
• Vf = 0,25 Vi
• Pi = 1,25 atm

Resolução:

a) Trabalho Realizado

Para um processo isotérmico: W = nRT * ln(Vf / Vi)

W = (0,150 mol)(8,314 J/mol·K)(350,15 K) * ln(0,25)
W = 436,7 J * (-1,386)
W = -605,6 J

O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema.

b) Variação da Energia Interna

Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como o processo é isotérmico, ΔU = 0.

c) Troca de Calor

Pela primeira lei, ΔU = Q - W. Como ΔU = 0, temos Q = W.

Q = -605,6 J

O sinal negativo indica que o sistema libera 605,6 J de calor para a vizinhança.

Problema 19.30: Aquecimento de CO₂ a Pressão Constante

Enunciado: Um cilindro com pistão sem atrito contém 0,250 moles de CO₂ a 27,0 °C e 1,00 atm. O gás é aquecido até 127,0 °C. Suponha que o CO₂ é um gás ideal.

1. Desenhe um gráfico pV.
2. Quanto trabalho o gás realiza?
3. Sobre o que o trabalho é realizado?
4. Qual a variação da energia interna do gás?
5. Quanto calor é fornecido ao gás?
6. Quanto trabalho seria realizado se a pressão fosse 0,50 atm?

Dados:

• n = 0,250 mol
• Ti = 27,0 °C = 300,15 K
• Tf = 127,0 °C = 400,15 K
• P = 1,00 atm = 1,013 × 10⁵ Pa (constante)
• Para CO₂, Cv = 28,46 J/mol·K

Resolução:

a) O gráfico pV é uma linha horizontal para a direita.

b) W = PΔV = nRΔT = (0,250 mol)(8,314 J/mol·K)(100 K) = 207,85 J

c) O trabalho é realizado sobre o pistão.

d) ΔU = nCvΔT = (0,250 mol)(28,46 J/mol·K)(100 K) = 711,5 J

e) Q = ΔU + W = 711,5 J + 207,85 J = 919,35 J

f) O trabalho depende de n, R e ΔT (W = nRΔT), não da pressão. Portanto, o trabalho seria o mesmo: 207,85 J.

Problema 19.34: Compressão Adiabática de CO

Enunciado: Dois moles de CO a 1,2 atm e 30 litros são comprimidos adiabaticamente para 1/3 do volume inicial. Suponha comportamento ideal. Qual a variação da energia interna? A energia interna e a temperatura aumentam ou diminuem? Explique.

Resolução:

Num processo adiabático, Q = 0. Pela primeira lei, ΔU = Q - W = -W.

Como o gás é comprimido, o trabalho (W) realizado pelo gás é negativo. Portanto, ΔU = -W será positivo. A energia interna aumenta.

Para um gás ideal, a energia interna é diretamente proporcional à temperatura (ΔU = nCvΔT). Como ΔU > 0, a variação de temperatura ΔT também deve ser positiva. A temperatura do gás aumenta.

Problema 19.39: Expansão Adiabática de SO₂

Enunciado: Uma quantidade de gás SO₂ (γ = 1,29) ocupa 5,00 × 10⁻³ m³ a 1,10 × 10⁵ Pa. O gás expande-se adiabaticamente para 1,00 × 10⁻² m³.

1. Calcule a pressão final do gás.
2. Qual o trabalho realizado pelo gás?
3. Determine a razão Tf / Ti.

Resolução:

a) Pressão Final

Para um processo adiabático, P₁V₁ᵞ = P₂V₂ᵞ.

P₂ = P₁ * (V₁ / V₂)ᵞ = (1,10 × 10⁵ Pa) * ( (5,00 × 10⁻³ m³) / (1,00 × 10⁻² m³) )¹·²⁹
P₂ = (1,10 × 10⁵ Pa) * (0,5)¹·²⁹ = 4,49 × 10⁴ Pa
Pf ≈ 4,5 × 10⁴ Pa

b) Trabalho Realizado

W = (P₁V₁ - P₂V₂) / (γ - 1)
W = ((1,10 × 10⁵ Pa * 5,00 × 10⁻³ m³) - (4,49 × 10⁴ Pa * 1,00 × 10⁻² m³)) / (1,29 - 1)
W = (550 J - 449 J) / 0,29
W = 348,3 J

c) Razão de Temperaturas

Para um processo adiabático, T₁V₁ᵞ⁻¹ = T₂V₂ᵞ⁻¹.

T₂ / T₁ = (V₁ / V₂)ᵞ⁻¹ = (0,5)⁰·²⁹ = 0,818

A temperatura final é aproximadamente 81,8% da temperatura inicial, ou seja, a temperatura diminui.

Problema 19.44: Fluxo de Calor em Vários Processos

Enunciado: Um sistema é levado de 'a' para 'c' pelo caminho 'abc' (W = 450 J) e pelo caminho 'adc' (W = 120 J). As energias internas são: Ua = 150 J, Ub = 240 J, Uc = 680 J, Ud = 330 J. Calcule o fluxo de calor Q para os processos ab, bc, ad e dc, e indique se o sistema absorve ou libera calor.

Resolução:

Usaremos a fórmula Q = ΔU + W = (Uf - Ui) + W. Assumimos que em 'abc', o processo 'ab' é isocórico (Wab=0), e em 'adc', o processo 'dc' é isocórico (Wdc=0).

• Processo ab: W_ab = 0. Q_ab = (Ub - Ua) + 0 = 240 J - 150 J = 90 J (absorve)
• Processo bc: W_bc = W_abc = 450 J. Q_bc = (Uc - Ub) + 450 J = (680 J - 240 J) + 450 J = 440 J + 450 J = 890 J (absorve)
• Processo ad: W_ad = W_adc = 120 J. Q_ad = (Ud - Ua) + 120 J = (330 J - 150 J) + 120 J = 180 J + 120 J = 300 J (absorve)
• Processo dc: W_dc = 0. Q_dc = (Uc - Ud) + 0 = 680 J - 330 J = 350 J (absorve)

Em todos estes processos, o sistema absorve calor.

Problema 19.47: Análise de Ciclo abc

Enunciado: Dois moles de um gás ideal monoatómico são submetidos ao ciclo abc. Num ciclo completo, 800 J de calor saem do gás (Q_total = -800 J). O processo 'ab' é a pressão constante e 'bc' é a volume constante. As temperaturas são Ta = 200 K e Tb = 300 K.

1. Desenhe um gráfico pV para o ciclo.
2. Qual o trabalho W realizado no processo 'ca'?

Resolução:

a) O gráfico pV mostra 'ab' como uma linha horizontal para a direita, 'bc' como uma linha vertical para baixo, e 'ca' como uma curva que liga 'c' a 'a'.

b) Para um ciclo completo, ΔU = 0, então W_total = Q_total = -800 J.

O trabalho total é a soma dos trabalhos de cada etapa: W_total = W_ab + W_bc + W_ca.

• W_ab (isobárico): W_ab = nRΔT = (2 mol)(8,314 J/mol·K)(300 K - 200 K) = 1662,8 J
• W_bc (isocórico): W_bc = 0

Agora, podemos encontrar W_ca:

W_ca = W_total - W_ab - W_bc
W_ca = -800 J - 1662,8 J - 0
W_ca = -2462,8 J