Fatoração de Polinômios: Métodos e Exemplos Práticos

Caso I - Fator comum

Remover o fator comum é o ato de extrair fatores comuns de um polinômio, binômio ou trinômio escolhendo o menor expoente das variáveis e um divisor comum dos coeficientes. Para conseguir isso, existe uma regra simples: coloque em evidência o fator comum, deixando entre parênteses o quociente de cada termo pelo fator extraído. Com isto, a resolução de fatores comuns torna-se muito mais direta.

Fator comum monômio

Extração do fator comum agrupando os termos:

e aplica-se apenas se o polinômio for igual a zero e nos dá um termo desconhecido, por exemplo x.

Fator comum polinomial

Primeiro temos que determinar o coeficiente e as variáveis do fator comum (com o menor expoente). Deve-se levar em conta aqui que o fator comum pode ser numérico e/ou literal. Exemplo:

Mostra claramente que está se repetindo o fator (xy) no polinômio; portanto, este será o fator comum. O outro fator é simplesmente o resto do polinômio original, ou seja,

A resposta é:

Em alguns casos, você deve usar o número 1 como fator comum, por exemplo:

Que pode ser usado como:

Portanto, a resposta é:

Caso II - Fator por agrupamento de termos

Para fatorar um polinômio por agrupamento, é necessário identificar pares ou grupos de termos que tenham fatores comuns. Geralmente isso se aplica quando há um número par de termos, ou quando é possível separar termos em dois binômios com um fator comum em cada grupo. Um exemplo numérico pode ser:

Então você pode agrupá-los como segue:

Aplicando o fator comum em cada grupo:

Caso III - Trinômio quadrado perfeito

É identificado por três termos, dois dos quais são quadrados perfeitos e o terceiro é o dobro do produto das raízes quadradas do primeiro e do terceiro termos. Para resolver um trinômio quadrado perfeito, reorganize os termos (se necessário), extraia a raiz quadrada do primeiro e do terceiro termos e coloque-os entre parênteses separados pelo sinal que acompanha o segundo termo; em seguida, escreva esse binômio ao quadrado.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

Organizando os termos:

Extraindo a raiz quadrada do primeiro e do último termo e agrupando-os entre parênteses separados pelo sinal do segundo termo, temos:

Para verificar, calcule se o produto do primeiro termo pelo dobro do segundo (por exemplo, 2·primeira raiz·segunda raiz) coincide com o termo do meio; se coincidir, a fatoração está correta.

Processo IV - Diferença de quadrados

É identificada quando temos dois termos que são quadrados perfeitos e estão unidos por um sinal de menos. A fatoração é feita como o produto de dois binômios conjugados:

Ou, de forma mais geral para expoentes quaisquer:

Usando uma fatoração baseada em produtos, podemos generalizar para qualquer expoente e obter uma expressão fatorada adequada:

Exemplo 1:

Exemplo 2: Suponha r = 2 para este exemplo:

Fatorar diferença de quadrados significa obter a raiz quadrada de cada termo e representá-los como o produto de binômios conjugados.

Caso V - Trinômio quadrado perfeito por adição e subtração

Também pode-se identificar trinômios que se tornam quadrados perfeitos por meio de adição ou subtração de um mesmo valor. Nestes casos, o valor adicionado ou subtraído não altera a possibilidade de reescrita do polinômio como um quadrado perfeito, desde que a modificação gere os termos necessários para a forma (a ± b)^2.

Note que os parênteses "(xy-xy)" são uma forma visual de explicação e servem para mostrar a manipulação algébrica empregada no processo.