Fundamentos das Ondas Sonoras

Introdução às Ondas Sonoras

O som é uma parte da física que estuda o movimento ondulatório. Uma onda sonora (onda de pressão) só pode se propagar através de um meio material, variando a pressão relativa ao movimento do som no meio. Como toda onda, será caracterizada por sua amplitude, frequência, período, comprimento de onda, etc. A velocidade de propagação dependerá das características mecânicas do meio. As variações de pressão de uma onda sonora são geralmente muito pequenas (medidas em dB).

A frequência do som estabelece uma classificação:

• Som audível: 20 Hz - 20.000 Hz (ou 20 kHz)
• Infrassom: < 20 Hz
• Ultrassom: > 20.000 Hz (ou 20 kHz)

A velocidade de propagação (c) depende das características mecânicas do meio. Tendo em conta estes valores, podemos deduzir o comprimento de onda (λ) correspondente: λ = c / f.

Velocidade da Onda de Cisalhamento (Corda Inextensível)

Consideramos uma corda inextensível sob tensão T₀. Quando uma onda transversal se propaga ao longo dela, um elemento dx da corda move-se no eixo transversal y. A força resultante na direção y é dF_y = T₀(∂²y/∂x²)dx. De acordo com a segunda lei de Newton, dF_y = (μ dx)(∂²y/∂t²), onde μ é a densidade linear de massa. Comparando as equações, obtemos a velocidade de propagação (c_t) da onda transversal: c_t = √(T₀/μ). A equação de uma onda plana que se propaga na corda é y(x,t) = Ysen[ω(t - x/c_t)].

Velocidade de Ondas Longitudinais

Em Sólidos (Haste de Secção Circular)

Consideramos um material elástico. Quando uma onda longitudinal passa, causa uma deformação elástica, aplicando-se a Lei de Hooke. A tensão (σ) é dF_x/A e a deformação (ε) é (L_f - L₀)/L₀ = ΔL/L₀. Assim, σ = Eε, ou (dF_x/A) = E (ΔL/L₀), onde E é o módulo de Young e A é a área da secção transversal. Considerando uma variação de deslocamento u, temos ΔL/L₀ = ∂u/∂x. A equação da força torna-se dF_x/dx = AE (∂²u/∂x²). Pela segunda lei de Newton, dF_x/dx = ρA (∂²u/∂t²), onde ρ é a densidade do material. Comparando, a velocidade de propagação (c_Ls) em sólidos é c_Ls = √(E/ρ). A equação da onda é u(x,t) = Asen[ω(t - x/c_Ls)].

Em Fluidos

A velocidade de propagação (c_Lf) em um fluido é dada por c_Lf = √(B/ρ), onde B é o módulo de compressibilidade volumétrica (Bulk Modulus) e ρ é a densidade do fluido. A equação da onda é u(x,t) = Asen[ω(t - x/c_Lf)], onde u é o deslocamento da partícula.

Ondas de Pressão Sonora

As ondas sonoras são ondas de pressão. Se considerarmos uma onda incidente (dp_i) e uma onda refletida (dp_r) com a mesma amplitude, formando uma onda estacionária:

dp_i = A sen(ωt - kx) = A sen[2πf(t - x/c)]

dp_r = A sen(ωt + kx) = A sen[2πf(t + x/c)]

A onda de pressão resultante (dp) é a soma: dp(x,t) = 2A cos(kx) sen(ωt) = 2A cos(2πfx/c) sen(2πft). A amplitude desta onda estacionária de pressão é A_R(x) = 2A cos(2πx/λ).

Os pontos de máxima pressão (ventres de pressão) ocorrem onde cos(kx) = ±1, i.e., kx = nπ, então x_Vp = n(λ/2), para n = 0, 1, 2, ...

Os pontos de mínima pressão (nós de pressão) ocorrem onde cos(kx) = 0, i.e., kx = (n+1/2)π, então x_Np = (2n+1)(λ/4), para n = 0, 1, 2, ...

O deslocamento da partícula (u) relaciona-se com a onda de pressão por dp = -B(∂u/∂x), onde B é o módulo de compressibilidade volumétrica. Integrando ∂u/∂x = -(1/B)dp em relação a x:

u(x,t) = - (2A / (Bk)) sin(kx) sin(ωt) = - (Aλ / (πB)) sin(2πx/λ) sin(2πft).

A velocidade de cada partícula (v_p) é v_p = ∂u/∂t:

v_p(x,t) = - (2Aω / (Bk)) sin(kx) cos(ωt) = - (2Afλ / B) sin(2πx/λ) cos(2πft).

Tubos Sonoros e Ondas Estacionárias

Um tubo sonoro é uma cavidade que ressoa com ondas sonoras, produzindo sons em frequências específicas. Dentro do tubo, formam-se ondas estacionárias.

Condições de contorno para o deslocamento u(x,t):

• Extremidade aberta: Nó de pressão (ΔP ≈ 0), que corresponde a um ventre de deslocamento (u é máximo, ∂u/∂x ≈ 0).
• Extremidade fechada: Ventre de pressão (ΔP é máximo), que corresponde a um nó de deslocamento (u ≈ 0).

Tubos Abertos (Abertos em Ambas as Extremidades)

Para um tubo de comprimento L_a aberto em ambas as extremidades, deve haver ventres de deslocamento (nós de pressão) em x=0 e x=L_a. As frequências ressonantes (harmônicos) são:

f_n = n * (c / 2L_a), onde n = 1, 2, 3, ... (número do harmônico)

O comprimento do tubo é L_a = n (λ_n / 2).

Tubos Fechados (Fechados em Uma Extremidade e Abertos na Outra)

Para um tubo de comprimento L_c fechado em uma extremidade (e.g., x=0) e aberto na outra (x=L_c), há um nó de deslocamento em x=0 e um ventre de deslocamento em x=L_c. As frequências ressonantes são:

f_n = n * (c / 4L_c), onde n = 1, 3, 5, ... (apenas harmônicos ímpares)

O comprimento do tubo é L_c = n (λ_n / 4), para n ímpar. (Equivalente a L_c = (2k-1)λ/4 para k=1,2,3...)

Intensidade Sonora

A intensidade sonora (I) é a potência sonora por unidade de área que atravessa uma superfície perpendicular à direção de propagação da onda (I = P/A).

Para uma onda sonora plana, a intensidade é: I = (Δp_max)² / (2ρc), onde Δp_max é a amplitude de pressão, ρ é a densidade do meio, e c é a velocidade do som.

O nível de intensidade sonora (β) em decibéis (dB) é: β (dB) = 10 log₁₀(I / I₀), onde I₀ é a intensidade de referência (10^-12 W/m²).

Efeito Doppler

O Efeito Doppler é a variação na frequência percebida de uma onda devido ao movimento relativo entre a fonte da onda e o observador. A frequência percebida (f') difere da frequência emitida (f).

A fórmula geral é: f' = f * (c ± v_o) / (c ∓ v_s)

• f' = frequência observada
• f = frequência emitida
• c = velocidade do som no meio
• v_o = velocidade do observador (+ se aproxima da fonte, - se afasta)
• v_s = velocidade da fonte (+ se afasta do observador, - se aproxima)