Geometria
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2.Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços
a) W= {(x,y,z,t) ∈ R4 ǀ x+y=0 e z-t= 0}
i)v1=(x1,y1,z1,t1) ∈ W e v2=(x2,y2,z2,t2) ∈ W
v1+v2=( x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2, t1+ t2 )
(x1+ x2)+( y1+ y2)=( x1+ y1)+( x2+ y2)= 0 + 0= 0
(z1+ z2)-( t1+ t2)=( z1- t1)+( z2- t2)= 0 + 0= 0
V1 + V2 ∈ W
ii) v=(x,y,z,t) ∈ W e λ ∈ R Então λ.v=(λx,λy,λz,λt).
λx + λy = λ (x+y)= λ . 0= 0
λz – λt = λ (z-t )= λ . 0= 0
λv ∈ W.Portanto W é subespaço.
b) u= {(x,y,z,t) ∈ R4 ǀ2x -y -t=0 e z= 0}
seja v1=(x1,y1,z1,t1) ∈ W e v2=(x2,y2,z2,t2) ∈ W
v1+v2=( x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2, t1+ t2 )
entãoV1 + V2 ∈ W
testemos
2(x1+ x2) – (y1+ y2) – (t1+ t2)=0
2x1- y1- t1=0
2x2- y2- t2=0
z1+ z2=0
z1=0
z2=0 temos que V1 + V2 ∈ W
ii) seja v=(x,y,z,t) ∈ W e λ ∈ R Então λ.v=(λx,λy,λz,λt).
Testemos
2xλ – λy- λt = λ (2x-y-t)= λ . 0= 0
λz = λ.0=0
assim λv ∈ W.Portanto W é subespaço.
3.Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de
M(2,2).Em caso afirmativo exiba os geradores:
a) V={ 
. 
e 
vetores em V e λ ∈ R.
+ = 
Vale que b1+b2 = c1+c2 pois b1=c1 e b2=c2
λ = 
e λb1= λc1 pois b1=c1
portanto W é subespaço de M(2,2
b) W={ 
b1+b2=c1+c2+1
b1=c1+1 e b2=c2+1
portanto b1+b2=c1+1 + c2+1+c1+c2+2
Assim W não é subespaço.
4.considere dois vetores (a,b) e (c,d) no plano.
Se ad-bc=0, mostre que eles são LD.
Se ad-bc≠0, mostre que eles são LI.
i)V1=(a,b) e V2=(c,d)
de fato se x1, x2 ∈ R e x1v1- x2v2=0
x1(a,b) – x2=(c,d) =(0,0) ( x1a, x1b)- (x2c, x2d) =(0,0)
(x1a- x2d, x1b- x2c) =(0,0) então x1a- x2d=0
x1b- x2c =0
assim x1a= x2c , então a= 
e b= 
, x1≠0
x1b= x2d
dessa forma com x1≠0,podemos falar que ad-bc=0 é LD;
e que para ser nulo ad=0 e bc=0 , assim ad-bc=0
ii) de fato se x1, x2 ∈ R e x1v1- x2v2=0
x1(a,b) – x2=(c,d) ≠(0,0) ( x1a, x1b)- (x2c, x2d) ≠(0,0)
(x1a- x2d, x1b- x2c) ≠(0,0) então x1a- x2d≠0
x1b- x2c ≠0
assim x1a≠ x2c
x1b≠ x2d
os vetores são LI, pois a não é combinação linear de de d e nem b de c.