Geometria

6.Considere o subespaço de R⁴.S=[(1,1,-2,4), (1,1,-1,2), (1,4,-4,8)]

a)o vetor ( ,1,-1,2) pertence a S?

sistema possível, as escalares para que 0.v=(2/3, 1, -1, 2)

pertence pois x₁=0 x₂=5/9 x₃=1/9

b) o vetor (0,0,1,1) pertence a S?

sistema impossível,não há solução,não pertence

7.Seja W o subespaço de M(2,2) definido por W={

a)[ ] ∈ W?  Pertence       b)[ ] ∈ W ? Não pertence

18.considere o subespaço de R⁴ gerado pelos vetores V₁=x(1,-1,0,0), V₂=y (0,0,1,1)                  V₃=z(-2,2,1,1) e V₄=t(1,0,0,0).

a)o vetor (2,-3,2,2) ∈ [V₁, V₂, V₃, V₄]?

Pertence porque, utilizando as técnicas de escalonamento o sistema é possível e com infinitas soluções.

  x    0   -2z  +t  = 2

-x    0   +2    0  =-3

 0     y   +z    0   = 2

 0     y   +z    0    =2

b) [V₁, V₂, V₃, V₄] = R⁴ ?

[V₁, V₂, V₃, V₄]não é igual a R⁴ pois dim [V₁, V₂, V₃, V₄] =3 e   R⁴=4.

21.Considere o sistema linear

2x₁  +  4x₂  -  6x₃  =a

X1   -   x2  +  4x₃  =b

           6x₂  -  14x₃  =c

Que condições devemos impor a a,b,c para que w seja subespaço vetorial de R³?

 a=b=c=0

22.seja U subespaço de R³ ,  gerado por (1, 0, 0) e W o subespaço de R³ gerado por (1, 1, 0 ) e (0, 1, 1 ).Mostre que R³ = U+V.

  dim (1, 0, 0)=1   e  dim (1, 1, 0 ),(0, 1, 1 )=2 .Os três vetores são LI e portanto geram  R³

Ache os AUTOVALORES E AUTOVETORES.

3)T:R²-R² tal que T(x,y)=(x+y, 2x+y)

 .λ₁= 1     V₁=(x, )   ;  λ₂=1 -     v₂=(x, -

5) T:P2-P2 tal que T(ax² +bx +c)=ax² + cx +b

.λ=1  v=ax² + bx + b

7) T:R⁴-R⁴ tal que T(x,y,z,w)=(x,x+y,x+y+z,x+y+z+w)

.λ=1   v=(0,0,0,w)

Ache os autovetores e autovalores correspondentes as matrizes:

Ache os autovetores e autovalores  correspondentes as matrizes:

9.   λ₁=1   v₁=(x ,0) ;  λ₂= -1,   v₂=(-y, y)

10.    =  λ₁=0   v₁=(x ,-x) x≠0  ;  λ₂= 2,   v₂=(x, x) x≠0 

λI=   =

P(λ)=det (A- λI)=   det .  =

    (1 –λ) (1 –λ) -1

    1-λ  -λ +λ² -1= P(λ)

    P(λ)= -2λ +λ²

     -2λ +λ²=0

    .λ(-2+λ)=0

     .λ-2=0      λ=2

11.   λ₁=1    v=(x, 0, 0 )

12. . = λ₁=3  v₁=( x,0,0)x≠0 ; λ₂= 3,  v₂=(x, 0, 0)x≠o;  λ₃= -1 

P(λ)=det (3 –λ) (3 –λ) (-1-λ)

   P(λ)= 9-λ  -3λ +λ² (-1-λ)= 0

    P(λ)= (9-6λ +λ²)(-1-λ)=0

     9+6λ -λ²-9+6λ –λ³=0

    .-λ³-3λ+5λ²-9=0

  (-6)²-4(1)9

36-36=0

X=  3,3          -λ-1=0

                              -λ=1

                              λ= -1

     .λ=3      λ=3      λ=-1

13. .   λ₁=1  v₁=( -y,y,0) ; λ₂= -1,  v₂=(x, 2x, -x);  λ₃= 3  v₃= (x, 0, x)

14. . = λ₁=1  v₁=( z,-2z,z)z≠0 ; λ₂=4,  v₂=(z, z, z)z≠o; 

15. = λ₁=+1  v₁=( -z,z,z)z≠0 ; λ₂= +1,  v₂=( -z,z,z);  λ₃= -1  v₃=( z,-z,z)

16.  λ₁=4  v₁=(y,y,0) ; λ₂= 4  v₂= (-z, 0, z) ; λ₃= -2   v₃= (x 0 x)

17.   λ₁= -3  v₁=(2y -7z, y,z) ; λ₂= 9  v₂= (x ,x ,x)

19. Seja A   quais AV e AV a) espaço real b)espaço complexo

a) λ= -2   v=(2x ,x,-x)

b) λ₁= -2   v₁=(2x ,x, -x) ; λ₂= i   v₂=[( -1 + i)y,y,(1+i)y] ; λ₃=  -i  v₃=[( -1-i)y,y(1 –i)y]