Geometria Espacial: Pirâmides, Cones e Poliedros

1- Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 16 cm. Calcule a área total e o volume dessa pirâmide sabendo que ela tem uma altura de 6 cm.

• Área da base (A1): a² = 16² = 256 cm²
• Apótema da pirâmide (ap):
  • ap² = 6² + 8²
  • √ap² = √100
  • ap = 10 cm
• Área lateral (A2): 4 x (b x h) / 2 = 4 x (16 x 10) / 2 = 4 x 80 = 320 cm²
• Área total (AT): A1 + A2 = 256 + 320 = 576 cm²
• Volume (V): (Ab x H) / 3 = (256 x 6) / 3 = 512 cm³

2- Um tetraedro regular tem aresta da base igual a 16 cm. Determine sua área total.

• Área total (AT): a²√3 = 16²√3 = 256√3 cm²

3- Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular que tem aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 8 cm.

• Área da base (Ab): (a²√3) / 4 = (6²√3) / 4 = (36√3) / 4 = 9√3 cm²
• Volume (V): (Ab x H) / 3 = (9√3 x 8) / 3 = (72√3) / 3 = 24√3 cm³

4- Numa pirâmide de base retangular cujas as dimensões são a = x cm e b = 2x cm, altura H = 8 cm e volume = 48 cm³, qual o valor de x que satisfaz essas condições?

• Área da base (Ab): 2x . x = 2x²
• Volume (V): 48 cm³ = (Ab . h) / 3
  • 48 = (2x² . 8) / 3
  • 48 = 16x² / 3
  • 144 = 16x²
  • 144 / 16 = x²
  • x² = 9
  • √x² = √9
  • x = 3 cm

Cone - Exercício 1: Num cone reto a altura mede 6 cm e o diâmetro da base 16 cm. Calcule a área total.

• Geratriz (g):
  • g² = R² + H²
  • g² = 8² + 6²
  • g² = 36 + 64
  • g² = 100
  • g = 10 cm
• Área total (AT): πR² + πRg = π.8² + π.8.10 = 64π + 80π = 144π cm²

Cone - Exercício 2: Calcule a área lateral do cone circular em que a geratriz mede 5 cm e área da base mede 9π cm².

• Área da base (Ab): 9π cm²
• Geratriz (g): 5 cm
• Raio (r):
  • Ab = πr²
  • 9π = πr²
  • 9π / π = r²
  • 9 = r²
  • r = 3 cm
• Área lateral (Al): πrg = π . 3 . 5 = 15π cm²

Poliedros - Exercício 1: Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possui 3 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.

• Número de faces (F): 3 + 6 = 9
• Número de arestas (A): (3 x 4 + 6 x 3) / 2 = 30 / 2 = 15
• Relação de Euler: F + V = A + 2
  • 9 + V = 15 + 2
  • 9 + V = 17
  • V = 17 - 9
  • V = 8 vértices

Poliedros - Exercício 2: As medidas de uma piscina em forma de paralelepípedo retangular são: comprimento igual a 20 m, largura igual a 8 m e altura igual a 2,5 m. Qual a sua capacidade (volume) em litros?

• 1 dm³ = 1 litro
• Volume: comprimento x largura x altura = 20 x 8 x 2,5 = 400 m³
• 400 m³ = 400.000 dm³ = 400.000 litros

Poliedros - Exercício 3: Num prisma quadrangular regular, o perímetro da base mede 28 cm e sua altura é igual a 15 cm.

a) Determine sua área total:

• Aresta da base: 28 / 4 = 7 cm
• Área total: 2 x área da base + 4 x área lateral
• Área total: 2 x (7 x 7) + 4 x (7 x 15)
• Área total: 2 x 49 + 4 x 105
• Área total: 98 + 420 = 518 cm²

b) Determine seu volume:

• Volume: área da base x altura
• Volume: (7 x 7) x 15
• Volume: 49 x 15 = 735 cm³

Poliedros - Exercício 4: Em uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo, com 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 15 cm de altura, serão colocados vários cubos pequenos com aresta igual a 5 cm. Quantos cubos, no máximo, poderão ser colocados na caixa?

• Volume da caixa: 40 x 30 x 15 = 18.000 cm³
• Volume de cada cubo: a³ = 5³ = 125 cm³
• Número de cubos: volume da caixa / volume de cada cubo = 18.000 / 125 = 144 cubos

Poliedros - Exercício 5: Um cubo tem área total de 294 cm². Calcule seu volume.

• Área total de um cubo: 6 x a²
• 6 x a² = 294
• a² = 294 / 6
• a² = 49
• a = √49
• a = 7 cm
• Volume de um cubo: a³ = 7³ = 343 cm³

Poliedros - Exercício 6: As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 16 cm, 15 cm e 8 cm. Calcule a área total desse paralelepípedo.

• Área total: 2 x [(16 x 15) + (16 x 8) + (15 x 8)]
• Área total: 2 x [240 + 128 + 120]
• Área total: 2 x [488]
• Área total: 976 cm²