Geometria Plana — Resumo de Ângulos, Polígonos e Círculos

Resumo do Tema 7

Elementos do plano

1. Sistema do plano

Permite-nos representar os elementos no plano.

2. Ponto

Determinada pelas suas coordenadas e muitas vezes recebe um nome.

3. Reta

Conjunto infinito de pontos numa mesma direção.

4. Semirreta

Cada uma das duas semirretas formadas quando se escolhe um ponto numa reta.

5. Segmento

Pedaço de reta entre dois pontos.

• Segmento nulo: as extremidades coincidem (mesmo ponto).
• Segmentos consecutivos: têm uma extremidade em comum.
• Segmentos colineares: estão na mesma reta.

6. Ângulos

Região do plano determinada por duas semirretas que têm origem comum. É medido em graus ou radianos.

Tipos de ângulos

Ângulos consecutivos: têm vértice e um lado em comum.

Ângulos adjacentes: são consecutivos e juntos somam 180° (suplementares).

Ângulos opostos pelo vértice: têm vértice comum e os lados de um são prolongamentos dos lados do outro; são iguais.

Suplementares: somam 180°.

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

Correspondentes: 1 e 3; 2 e 4; 5 e 7; 6 e 8 — são iguais.

Ângulos alternos internos: 2 e 6; 3 e 7 — são iguais.

Ângulos alternos externos: 1 e 5; 8 e 4 — são iguais.

Polígonos

Região do plano contida por uma poligonal fechada.

Lados: os segmentos que formam o polígono.

Vértice: ponto onde se encontram dois lados.

Diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos.

Ângulos internos de um polígono: formados pelos lados do polígono.

Classificação

• Convexo: todos os ângulos internos < 180°.
• Côncavo (ou não convexo): tem pelo menos um ângulo interno > 180°.

Elementos de um polígono regular

• Centro: ponto equidistante dos vértices.
• Raio (circumradius): distância do centro a cada vértice.
• Circunferência circunscrita: circunferência que passa pelos vértices do polígono.
• Apótema: distância do centro ao ponto médio de cada lado.
• Incírculo: circunferência interna tangente a todos os lados; seu centro é o incentro.

Triângulos

Polígonos de três lados. A soma dos três ângulos internos é 180°.

Alturas

Retas traçadas de cada vértice e perpendiculares ao lado oposto. Interseção das alturas: ortocentro.

Medianas

Segmentos que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Interseção das medianas: baricentro (centroide).

Mediatrizes (perpendiculares)

Retas perpendiculares a cada lado no seu ponto médio. Interseção das mediatrizes: circuncentro — centro da circunferência circunscrita.

Bissetrizes

Retas que dividem cada ângulo em duas partes iguais. Interseção das bissetrizes: incentro — centro do círculo inscrito.

Quadriláteros

Polígonos com quatro lados; têm duas diagonais e a soma dos ângulos internos é 360°.

Classificação

• Paralelogramos: lados opostos paralelos.
• Quadrado: lados iguais e ângulos retos.
• Retângulo: lados opostos iguais e ângulos retos.
• Losango (diamante): lados iguais; ângulos opostos iguais.
• Romboide (paralelogramo não retângulo): lados e ângulos iguais dois a dois.
• Trapézio: tem dois lados paralelos.
• Deltoide (papagaio ou kite): dois pares de lados adjacentes iguais.

Figuras circulares

Circunferência

Conjunto de pontos equidistantes do centro. A distância ao centro chama-se raio.

Elementos do círculo

• Corda: segmento que une dois pontos na circunferência.
• Diâmetro: corda que passa pelo centro (vale 2·raio).
• Arco: parte da circunferência entre dois pontos.
• Semicírculo: arco determinado por um diâmetro.
• Setor circular: área determinada por dois raios e o arco correspondente.
• Coroa (anel): área circular entre dois círculos concêntricos.
• Segmento circular: região limitada por uma corda e o arco correspondente.
• Círculo: região do plano contida dentro da circunferência.

Posição relativa entre uma reta e um círculo

Uma reta pode ser secante (intersecta em dois pontos), tangente (um ponto) ou externa (não intersecta).

Fórmulas e resultados importantes

Área de um círculo

Área = π · r²

Comprimento do arco

Para um arco com amplitude θ em radianos: comprimento = r · θ. Em graus: comprimento = (θ/360) · 2πr.

Circunferência de um círculo

Perímetro (circunferência) = 2 · π · r

Número de diagonais de um polígono

Fórmula: n(n − 3) / 2, onde n é o número de vértices.

Soma dos ângulos internos de um polígono

Soma = (n − 2) · 180°, onde n é o número de lados.

Área de um polígono regular

Área = (Perímetro · Apótema) / 2

Área de um triângulo

Área = (base · altura) / 2

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo: a² + b² = c² (c é a hipotenusa).

Área de um triângulo retângulo

Área = (cateto₁ · cateto₂) / 2

Área dos quadriláteros

Quadrado	Área = l² (l = lado)
Retângulo	Área = base · altura
Losango	(Área = (d₁ · d₂)/2 ou base · altura)
Romboide	Área = base · altura
Trapézio	(Área = (B + b) · h / 2)

Valor do ângulo central de um polígono regular

Ângulo central = 360° / n (n = número de lados)

Ângulo interior de um polígono regular

Ângulo interior = (n − 2) · 180° / n