Guía de Álgebra Lineal: Posiciones y Dependencia

Generador o Base

• Si rg(A) = rg(A') = 3: SCD (será sistema generador y base).
• Si rg(A) = rg(A') < 3: SCI (será sistema generador, pero no base).
• Si rg(A) ≠ rg(A'): SI (no será ni sistema generador ni base).

Posición Relativa de Dos Planos

• Si rg(A) = rg(A') = 2: SCD con 1 grado de libertad... SECANTES.
• Si rg(A) = 1 y rg(A') = 2: SI... PARALELOS.
• Si rg(A) = rg(A') = 1: SCI con 3 grados de libertad... COINCIDENTES.

Posición Relativa de Dos Rectas

(Calculamos el determinante)

• Si det ≠ 0: Vectores linealmente independientes.
• Si det = 0:
  • SECANTES: Todo igual menos 1.
  • PARALELAS: Todo igual.
  • COINCIDENTES: Todo igual menos el último.

Combinación Lineal

u = α · v + β · w (sustituir, resolver sistema de ecuaciones para hallar α y β; si al sustituir en una ecuación se cumple la igualdad, es CL).

Dependencia e Independencia Lineal

α, β, λ = 0 (resolver sistema de ecuaciones y determinante). Si el det = 0 es LD; si det ≠ 0 es LI.

Operaciones con Rectas y Planos

• Ecuación de la recta r: Contenida en el plano π, que pasa por P(x, y, z) y es perpendicular a s: realizar producto vectorial (i, j, k).
• Punto de corte de dos rectas: Igualamos r1 con r2 para hallar α y β, luego sustituimos en la recta 1 y 2 para obtener el punto de corte.
• Obtener la ecuación del plano: A partir de dos planos, dos rectas o dos vectores: [AX, U, V].