Guia Completo de Análise Combinatória e Probabilidade
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1. Fatorial (n!)
O fatorial de um número n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 1
Exemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
2. Permutações (P)
As permutações representam o número de maneiras diferentes de organizar todos os elementos de um conjunto.
a) Permutação Simples (sem repetição)
Quando todos os elementos são distintos, o número de permutações de n elementos é dado por:
P(n) = n!
Exemplo: Quantas maneiras diferentes existem para organizar 3 pessoas em 3 cadeiras?
P(3) = 3! = 6
b) Permutação com Repetição
Se há elementos repetidos, a fórmula muda. Para um conjunto com n elementos, onde a, b, c, ... elementos se repetem, a fórmula é:
P(n; a, b, c) = n! / (a! × b! × c!)
Exemplo: Quantas maneiras existem de organizar a palavra "BANANA"? Temos 6 letras no total, mas com 3 letras "A" repetidas.
P(6; 3) = 6! / 3! = 720 / 6 = 120
3. Combinações (C)
As combinações indicam o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos, sem importar a ordem.
a) Combinações Simples
A fórmula para combinações sem repetição é:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Exemplo: De um grupo de 5 pessoas, quantas combinações de 3 pessoas posso formar?
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 10
b) Combinações com Repetição
Para combinações com repetição, a fórmula é:
Cr(n, k) = (n + k - 1)! / (k! * (n - 1)!)
Exemplo: Se tenho 4 tipos diferentes de doces e quero escolher 3, podendo repetir os doces, a fórmula seria:
Cr(4, 3) = (4 + 3 - 1)! / (3! * (4 - 1)!) = 6! / (3! * 3!) = 20
4. Arranjos (A)
Nos arranjos, a ordem importa. Para um conjunto de n elementos, o número de maneiras de escolher k elementos e arranjá-los é:
A(n, k) = n! / (n - k)!
Exemplo: Quantas maneiras diferentes podemos organizar 2 pessoas em 4 cadeiras?
A(4, 2) = 4! / (4 - 2)! = 24 / 2 = 12
5. Princípio Fundamental da Contagem
Se uma ação pode ser realizada de m maneiras e outra de n maneiras, o número total de maneiras de realizar as duas ações em sequência é m × n.
6. Binômio de Newton
A expansão de (a + b)n é dada por:
(a + b)n = ∑ C(n,k) * a(n-k) * bk
- Exemplo: Expandir (x + y)3 resulta em:
(x + y)3 = C(3,0)x3y0 + C(3,1)x2y1 + C(3,2)x1y2 + C(3,3)x0y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3