Guia de Estudo: Mecânica Clássica e Fluidos

Momentos de Inércia

Fórmulas fundamentais para o cálculo do momento de inércia:

• Sistema Discreto: I = Σ(mᵣ · dᵣ²)
• Sistema Contínuo: I = ∫(d² · dm)
• Teorema de Steiner (Eixos Paralelos): Iᵢ = Iᵣ + m · d², onde Iᵣ é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa e d é a distância entre os eixos.

Cinemática do Ponto

Conceitos Fundamentais

• Posição (r⃗): Vetor que define a localização de um ponto no espaço em função do tempo, r⃗(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂.
• Trajetória: O caminho geométrico descrito pelo ponto.
• Velocidade (v⃗): A taxa de variação da posição. v⃗ = dr⃗(t)/dt. O seu módulo é a celeridade (ds/dt) e é sempre tangente à trajetória.
• Aceleração (a⃗): A taxa de variação da velocidade. a⃗ = dv⃗(t)/dt. Pode ser decomposta em aceleração tangencial (aᵡ) e aceleração normal (aᵜ = v²/ρ).

Tipos de Movimento

• Movimento Retilíneo Uniforme (MRU):
  • Aceleração: a = 0
  • Velocidade: v = constante
  • Posição: s(t) = s₀ + v · t
• Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA):
  • Aceleração: a = constante
  • Velocidade: v(t) = v₀ + a · t
  • Posição: s(t) = s₀ + v₀t + ½at²
• Movimento Circular (MC):
  • Posição angular: s = θ · R
  • Velocidade tangencial: v = ω · R
  • Aceleração tangencial: aᵡ = α · R
  • Aceleração normal (centrípeta): aᵜ = ω² · R = v²/R

Cinemática do Sólido Rígido Plano

Equações Fundamentais

• Campo de Velocidades (Fórmula de Euler): A velocidade de um ponto B pode ser calculada a partir da velocidade de um ponto A: vᴄ = vᴃ + ω⃗ × rᴄₓᴃ (movimento de translação + rotação).
• Centro Instantâneo de Rotação (CIR): Ponto com velocidade nula num dado instante. A velocidade de qualquer ponto B é dada por: vᴄ = ω⃗ × rᴄₓᶖᶖᶞ.

Graus de Liberdade e Vínculos

Um corpo rígido no plano possui 3 graus de liberdade. Os vínculos (ligações) restringem o movimento:

• Apoio simples ou cabo: -1 grau de liberdade.
• Articulação (pino): -2 graus de liberdade.
• Engastamento (fixo): -3 graus de liberdade.

Método do CIR para Análise de Velocidades

1. Caso 1 (Direções de duas velocidades conhecidas):
   1. Encontrar o CIR graficamente, traçando perpendiculares às direções das velocidades conhecidas.
   2. Calcular a velocidade angular (ω) usando um ponto com velocidade conhecida: ω = vᴃ / rᴃₓᶖᶖᶞ. O sentido de ω deve ser coerente.
   3. Calcular a velocidade de qualquer outro ponto B: vᴄ = ω · rᴄₓᶖᶖᶞ.
2. Caso 2 (Velocidade de um ponto e ω conhecidos):
   1. Encontrar o CIR: localiza-se na perpendicular à velocidade conhecida, a uma distância r = v / ω.
3. Caso 3 (Corpo rolando sobre uma superfície):
   1. Se rola sem deslizar, o CIR está no ponto de contacto com a superfície.
   2. Se rola e desliza, o CIR não está no ponto de contacto.
4. Caso 4 (Sistemas com múltiplos sólidos):
   1. Analisar cada corpo individualmente, começando pelo que possui um ponto fixo (que será o CIR).
   2. Calcular a velocidade do ponto de contacto entre os corpos. Esta velocidade é a mesma para ambos os corpos no ponto de união.
   3. Prosseguir a análise para o corpo seguinte.

Estática

Equilíbrio de Corpos Rígidos

Método de Análise

1. Diagrama de Corpo Livre (DCL): Isolar o corpo e representar todas as forças externas (ativas e reativas).
2. Equações de Equilíbrio: Aplicar as condições de equilíbrio: ΣF⃗ = 0 e ΣM⃗ = 0.
3. Verificação: O número de equações independentes deve ser igual ao número de incógnitas.
   • Sistema Isostático: Graus de liberdade = 0. Solucionável.
   • Mecanismo: Graus de liberdade > 0. Instável.
   • Sistema Hiperestático: Graus de liberdade < 0. Estaticamente indeterminado.
4. Resolução: Resolver o sistema de equações para encontrar as reações desconhecidas.

Nota sobre atrito: A força de atrito estático máxima é Fᵢᵡ = μ · N.

Para estruturas compostas, analise cada componente separadamente, aplicando a terceira lei de Newton (ação e reação) nas juntas.

Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

Método de Análise

1. Definir um sistema de coordenadas e os parâmetros (graus de liberdade, ex: θ) que descrevem a configuração do sistema.
2. Expressar as forças ativas (peso, forças de mola F = k(x-L₀), etc.).
3. Determinar as coordenadas dos pontos de aplicação das forças em função dos parâmetros.
4. Calcular os deslocamentos virtuais (δr) para cada ponto de aplicação, derivando as coordenadas em relação aos parâmetros.
5. Aplicar a equação do trabalho virtual: δW = Σ(F⃗ᵣ · δr⃗ᵣ) = 0.
6. Resolver a equação para encontrar a condição de equilíbrio.

Estática de Fluidos

Propriedades e Conceitos

• Massa Volúmica (Densidade): ρ = m / V (unidade SI: kg/m³).
  • ρ_água ≈ 1000 kg/m³
  • ρ_ar ≈ 1.2 kg/m³
• Densidade Relativa: ρr = ρfluido / ρágua (adimensional).
• Peso Específico: γ = ρ · g (unidade SI: N/m³).
• Pressão: p = F⊥ / A (unidade SI: N/m² ou Pascal (Pa)).

Conversão de Unidades de Pressão

• 1 atm ≈ 1.013 × 10⁵ Pa
• 1 atm = 760 mmHg
• 1 bar = 10⁵ Pa

Princípios Fundamentais

• Princípio de Pascal: Uma variação de pressão aplicada a um fluido incompressível em equilíbrio é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente. Aplicação: F1/A1 = F2/A2.
• Lei Fundamental da Hidrostática (Lei de Stevin): A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio é dada por Δp = p2 - p1 = ρgh, onde h é a diferença de altura vertical entre os pontos.
• Tipos de Pressão: p_absoluta = p_manométrica + p_atmosférica.