Introdução à Probabilidade: Conceitos e Exercícios Resolvidos

Introdução à Probabilidade

Este documento aborda os conceitos fundamentais da probabilidade, desde a definição de experimentos e espaços amostrais até o cálculo de probabilidades de eventos simples e compostos, incluindo exercícios práticos resolvidos.

Conceitos Fundamentais

Experimentos Determinísticos e Aleatórios

Experimentos Determinísticos: São aqueles nos quais podemos determinar os resultados com certeza, mesmo repetindo-os diversas vezes, pois suas condições iniciais são controladas e previsíveis.

Experimentos Aleatórios: São aqueles cujos resultados não podem ser previstos com certeza, mesmo que as condições iniciais sejam as mesmas. No entanto, é possível descrever todos os resultados possíveis.

Espaço Amostral (S)

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado Espaço Amostral, que será indicado por S.

Evento Certo

É denominado Evento Certo aquele que ocorre com certeza. Exemplo: No lançamento de um dado, seja o evento E: "Sair face menor que 7".

Evento Impossível

É denominado Evento Impossível aquele que nunca ocorre. Exemplo: No lançamento de dois dados, seja o evento E: "Obter soma maior que 12".

Probabilidade de um Evento

A probabilidade de um evento (P(E)) é calculada pela razão entre o número de elementos do evento (n(E)) e o número de elementos do espaço amostral (n(S)).

P(E) = n(E) / n(S)

Probabilidade de Eventos Independentes (Produto)

Para eventos independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto de suas probabilidades individuais.

Exemplo: Determine a probabilidade de sair o número 2 em 2 lançamentos sucessivos de um dado.

Fórmula: P(A e B) = P(A) * P(B)

P(A) = 1/6 (probabilidade de sair 2 no primeiro lançamento)
P(B) = 1/6 (probabilidade de sair 2 no segundo lançamento)

P(E) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

Exercícios Resolvidos

Exercício 1: Fichas Numeradas

Numa caixa há fichas numeradas de 1 a 10. Defina o espaço amostral do experimento "retirar fichas ao acaso da caixa" e defina os eventos:

• Espaço Amostral (S): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• A) Ocorrência de número ímpar: {1, 3, 5, 7, 9}
• B) Ocorrência de número primo: {2, 3, 5, 7}
• C) Ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Exercício 2: Lançamento de Moeda e Dado

No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, faça um diagrama, defina o espaço amostral e os eventos:

• A) Ocorrência de cara e um número par: (c,2), (c,4), (c,6)
• B) Ocorrência de coroa e múltiplo de 3: (k,3), (k,6)
• C) Ocorrência de coroa e número primo: (k,2), (k,3), (k,5)

Exercício 3: Lançamento de um Dado Perfeito

No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:

• Um número par: P(E) = 3/6
• Um número primo: P(E) = 3/6
• O número 3: P(E) = 1/6
• Um número menor que três: P(E) = 2/6
• Um número menor que 1: Evento Impossível
• Um número menor que 7: Evento Certo

Exercício 4: Lançamento Simultâneo de Dois Dados Perfeitos

No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que:

1. A soma seja 7: P(E) = 6/36
2. A soma seja par: P(E) = 18/36
3. A soma seja um número primo: P(E) = 14/36
4. A soma seja maior que 1 e menor que 8: P(E) = 22/36
5. Ambos os números sejam pares: P(E) = 9/36
6. Ambos os números sejam iguais: P(E) = 6/36
7. O primeiro número seja múltiplo do segundo: P(E) = 11/36

Exercício 5: Bolas em uma Caixa

Uma caixa contém 9 bolas brancas e 6 bolas vermelhas idênticas quanto ao tamanho. Determine a probabilidade de se retirar da caixa uma sequência de:

• A) Três bolas brancas:

  P(E) = (9/15) * (8/14) * (7/13) = 504/2730

• B) Três bolas vermelhas:

  P(E) = (6/15) * (5/14) * (4/13) = 120/2730

• C) Uma bola branca e em seguida duas vermelhas:

  P(E) = (9/15) * (6/14) * (5/13) = 270/2730

• D) Duas bolas brancas e em seguida uma vermelha:

  P(E) = (9/15) * (8/14) * (6/13) = 432/2730

Observação: Números Primos

Os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101.