Lentes Esféricas: Fórmulas, Convenções e Exercícios
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Fórmulas Fundamentais de Lentes Esféricas
A relação entre a distância focal, a distância do objeto e a distância da imagem em lentes esféricas é dada pela Equação dos Pontos Conjugados (ou Equação de Gauss):
1/f = 1/di + 1/do
- f: distância focal da lente
- di: distância da imagem à lente
- do: distância do objeto à lente
Convenções de Sinais para Lentes Esféricas
Para aplicar corretamente as fórmulas, é essencial seguir as convenções de sinais:
- Lentes convergentes: f > 0
- Lentes divergentes: f < 0
- Imagem real: di > 0 (formada do lado oposto ao objeto)
- Imagem virtual: di < 0 (formada do mesmo lado do objeto)
- Objeto real: do > 0 (sempre)
- Objeto virtual: do < 0 (raro, em sistemas com múltiplas lentes)
Aumento Linear Transversal (A)
O aumento linear transversal relaciona o tamanho da imagem com o tamanho do objeto, e também pode ser expresso em termos das distâncias:
A = i/o = -di/do
- A: aumento linear transversal
- i: tamanho da imagem
- o: tamanho do objeto
Convergência (C) ou Vergência (V)
A convergência ou vergência de uma lente é o inverso de sua distância focal, quando esta é expressa em metros.
C = 1/f ou V = 1/f
A unidade de medida no Sistema Internacional (SI) para convergência é o metro inverso (m-1), também conhecido como dioptria (di) ou popularmente como grau.
Exercícios Resolvidos de Óptica Geométrica
Questão 1: Cálculo da Distância Mínima de Visão
A vergência ou “grau” de uma lente de óculos, expressa em dioptrias (di), equivale ao inverso da distância focal (f), medida em metros. Uma pessoa com hipermetropia, para ver com nitidez um objeto colocado a 25 cm de seus olhos, precisa usar óculos de leitura de “grau” 2 dioptrias positivas. Qual é a distância mínima, em centímetros, para que essa pessoa, quando sem óculos, veja um objeto com nitidez?
Resolução:
Primeiro, calculamos a distância focal da lente dos óculos:
V = 1/f → 2 = 1/f → f = 1/2 m → f = 0,5 m → f = 50 cm
Para uma pessoa com hipermetropia, a lente dos óculos forma uma imagem virtual do objeto no ponto próximo do olho. O objeto está a 25 cm (do = 25 cm) e a lente tem f = 50 cm. A imagem virtual (di < 0) é formada no ponto próximo da pessoa sem óculos.
1/f = 1/do + 1/di
1/50 = 1/25 + 1/di
1/di = 1/50 - 1/25
1/di = (1 - 2)/50
1/di = -1/50 → di = -50 cm
A distância da imagem é -50 cm, o que significa que a imagem é virtual e está a 50 cm da lente. Este é o ponto próximo da pessoa sem óculos.
Resposta: A distância mínima para que essa pessoa, quando sem óculos, veja um objeto com nitidez é de 50 cm.
Questão 2: Lupa e Aumento de Imagem
Um escoteiro usa uma lupa para acender uma fogueira, concentrando os raios solares num único ponto a 20 cm da lupa. Utilizando a mesma lupa, o escoteiro observa os detalhes da asa de uma borboleta ampliada quatro vezes.
a) Qual é a distância focal da lente? Justifique sua resposta.
Resolução a):
Quando raios solares (paralelos) são concentrados por uma lente, eles convergem para o foco principal da lente. Portanto, a distância do ponto de concentração à lupa é a distância focal.
f = 20 cm
b) Calcule a que distância da asa da borboleta o escoteiro está posicionando a lupa.
Resolução b):
Sabemos que o aumento linear (A) é 4, e que A = i/o = -di/do.
A = 4 → i/o = 4
4 = -di/do → di = -4do (A imagem é virtual, pois a lupa forma imagens ampliadas e virtuais quando o objeto está entre o foco e a lente).
Agora, usamos a Equação dos Pontos Conjugados: 1/f = 1/do + 1/di
1/20 = 1/do + 1/(-4do)
1/20 = 1/do - 1/(4do)
Para somar as frações, encontramos um denominador comum (4do):
1/20 = (4 - 1)/(4do)
1/20 = 3/(4do)
Multiplicando em cruz:
4do = 3 * 20
4do = 60
do = 60 / 4
do = 15 cm
Resposta: O escoteiro está posicionando a lupa a 15 cm da asa da borboleta.
Questão 3: Cálculo da Distância da Imagem Virtual
Um objeto de tamanho o igual a 15 cm está situado a uma distância do igual a 30 cm de uma lente. Verifica-se que a lente forma uma imagem virtual do objeto cujo tamanho i é igual a 3 cm. Qual é o módulo da distância di (em cm) da imagem à lente?
Dados:
- o = 15 cm
- do = 30 cm
- i = 3 cm
- di = ?
Resolução:
Utilizamos a fórmula do aumento linear transversal: A = i/o = -di/do
Substituindo os valores conhecidos:
3/15 = -di/30
Simplificando a fração 3/15:
1/5 = -di/30
Multiplicando em cruz:
5 * (-di) = 1 * 30
-5di = 30
di = 30 / -5
di = -6 cm
O sinal negativo confirma que a imagem é virtual, conforme o enunciado. O módulo da distância é o valor absoluto.
Resposta: O módulo da distância da imagem à lente é 6 cm.
Questão 4: Cálculo da Distância Focal de Lente Convergente
Um objeto real se encontra na frente de uma lente esférica delgada. Sabe-se que a imagem formada é real e se encontra a 30 cm da lente e que a distância entre o objeto e a imagem é 50 cm. Qual a distância focal da lente?
Dados:
- di = 30 cm (imagem real, então di > 0)
- Distância entre objeto e imagem = 50 cm
Resolução:
Como a imagem é real, ela se forma do lado oposto ao objeto. A distância total entre objeto e imagem é a soma das distâncias do objeto e da imagem à lente: do + di = 50 cm.
do + 30 = 50
do = 50 - 30
do = 20 cm
Agora, usamos a Equação dos Pontos Conjugados: 1/f = 1/do + 1/di
1/f = 1/20 + 1/30
Para somar as frações, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) de 20 e 30, que é 60.
1/f = 3/60 + 2/60
1/f = (3 + 2)/60
1/f = 5/60
Simplificando a fração:
1/f = 1/12
Invertendo ambos os lados:
f = 12 cm
Resposta: A distância focal da lente é 12 cm.
Questão 5: Comportamento da Imagem em Lente Convergente
Em um laboratório moderno de óptica, tem-se um objeto luminoso situado num dos focos principais de uma lente convergente. O objeto afasta-se da lente, movimentando-se sobre um eixo principal. O que se pode afirmar sobre a imagem do objeto, à medida que ele se movimenta sobre o eixo principal da lente?
Resolução:
Quando um objeto está no foco de uma lente convergente, a imagem é formada no infinito (raios paralelos após a lente). À medida que o objeto se afasta do foco (indo para além de 2f), a imagem real formada pela lente convergente se aproxima do foco do outro lado e diminui de tamanho.
Resposta: À medida que o objeto se afasta da lente (passando do foco para além de 2f), a imagem real formada tende a diminuir de tamanho e se aproximar do foco do lado oposto.
Questão 6: Cálculo da Vergência em Dioptrias
Uma lente convergente tem distância focal de 20 cm. Qual é a sua vergência em dioptrias?
Dados:
- f = 20 cm
Resolução:
Para calcular a vergência (V) em dioptrias, a distância focal (f) deve estar em metros.
f = 20 cm = 0,2 m
V = 1/f
V = 1/0,2
V = 5 dioptrias (di)
Resposta: A vergência da lente é de 5 dioptrias.
Questão 7: Posicionamento de Objeto para Imagem Projetada
A distância focal de uma lente convergente é de 10 cm. A que distância da lente deve ser colocada uma vela para que sua imagem seja projetada, com nitidez, sobre um anteparo situado a 0,5 m da lente?
Dados:
- f = 10 cm
- di = 0,5 m = 50 cm (imagem projetada em anteparo é real, então di > 0)
- do = ?
Resolução:
Utilizamos a Equação dos Pontos Conjugados: 1/f = 1/do + 1/di
1/10 = 1/do + 1/50
Isolamos 1/do:
1/do = 1/10 - 1/50
Para subtrair as frações, encontramos o MMC de 10 e 50, que é 50.
1/do = 5/50 - 1/50
1/do = (5 - 1)/50
1/do = 4/50
Simplificando a fração:
1/do = 2/25
Invertendo ambos os lados:
do = 25/2
do = 12,5 cm
Resposta: A vela deve ser colocada a 12,5 cm da lente.