Lista de Exercícios Resolvidos: Eletromagnetismo

Lista 3: Eletricidade e Circuitos

1. Resistência Transoceânica
As primeiras mensagens telegráficas que cruzaram o Oceano Atlântico ocorreram em 1858, por meio de um cabo de 3000 km entre o Canadá e a Irlanda. O condutor neste cabo era composto por sete fios de cobre, cada um com diâmetro de 0,73 mm, firmemente empacotados e envoltos por uma camada isolante de proteção. Calcule a resistência deste condutor. [Dica: Antes de sair multiplicando sua resistência por 7, pare e pense um pouco!]
A área da seção transversal de cada fio é: A = πD²/4 = 4,18 × 10⁻⁷ m². Usando que a resistividade do cobre é ρ = 1,7 × 10⁻⁸ Ω·m, a resistência de cada fio será: R = ρl/A = (1,7 × 10⁻⁸ Ω·m)(3 × 10⁶ m)/(4,18 × 10⁻⁷ m²) = 122 kΩ. Temos, no entanto, 7 fios empacotados em paralelo. Portanto, a resistência efetiva será R_ef = R/7 = 17 kΩ.

2. Resistência Oceânica
A resistividade da água do mar é ρ = 25 Ω·cm. Os principais carreadores de carga são os íons Na⁺ e Cl⁻. Assuma que a concentração de sal na água é de 3 × 10²&sup0; moléculas/cm³. Se preenchermos um tubo plástico de 2 metros de comprimento com água do mar e conectarmos eletrodos em cada uma de suas extremidades a uma bateria de 12 V, qual será a velocidade de “drift” média dos íons? [Note que há dois carreadores de carga, ambos com a mesma concentração.]
Começamos lembrando que a relação entre a velocidade de drift e a densidade de corrente é:
J = env_d
Já a lei de Ohm, em sua versão microscópica, lê-se: J = σE = (1/ρ)E = (1/ρ)(V/L)
Juntando ambas as equações, chegamos a:
v_d = V/(enρL)
Note, no entanto, que há n = 3 × 10²&sup0; moléculas de NaCl por cm³. Na água, estas moléculas estarão dissociadas em Na⁺ e Cl⁻. Lembrando que uma carga positiva andando para a direita é inteiramente equivalente a uma carga negativa indo para a esquerda, podemos concluir que haverá dois carreadores de carga e, portanto, n_ef = 6 × 10²&sup0; cm⁻³ [10 casais num cinema é equivalente a 20 pessoas!]. Com isso, escrevemos então:
v_d = 12 V / ((1,6 × 10⁻¹&sup9; C)(6 × 10²&sup0; cm⁻³)(25 Ω·cm)(200 cm)) = 2,5 × 10⁻&sup5; cm/s
Se você tivesse usado ρ = 25 Ω·m [o que, obviamente, eu não daria errado, já que o erro foi meu], então o resultado é v_d = 2,5 × 10⁻&sup7; m/s.

3. Bateria de Carro
Neste problema, quero que você estime quanto tempo um elétron que sai da bateria do seu carro leva para chegar ao motor de ignição ao dar a partida. Suponha que a corrente seja de 115 A e que os elétrons se desloquem por um fio de cobre com seção transversal de 31,2 mm² e comprimento de 85,2 cm.
(a) Qual a densidade de corrente no fio?
J = I/A = 115 A / (31,2 × 10⁻⁶ m²) = 3,68 × 10⁶ A/m²
(b) Qual a velocidade de drift dos elétrons? (Você precisará da densidade de elétrons; olhe na tabela que eu te dei!)
Tomando n = 8,47 × 10²² elétrons/cm³ (ou 8,47 × 10²&sup8; elétrons/m³) e lembrando que J = env_d, teremos: v_d = J/(en) = (3,68 × 10⁶ A/m²) / ((1,6 × 10⁻¹&sup9; C)(8,47 × 10²&sup8; m⁻³)) = 2,7 × 10⁻⁴ m/s
(c) Quanto tempo o elétron levará para chegar à bateria?
t = l/v_d = 0,852 m / (2,7 × 10⁻⁴ m/s) = 52,5 min

4. Lâmpada
Considere uma lâmpada de 100 W ligada a uma tomada de 110 V. Suponha que a lâmpada esteja ligada por um tempo suficientemente longo para que as flutuações em sua temperatura tenham se tornado desprezíveis.
(a) Qual a resistência da lâmpada?
P = V²/R ⇒ R = V²/P = (110 V)² / 100 W = 121 Ω
(b) Qual a corrente da lâmpada?
P = VI ⇒ I = P/V = 100 W / 110 V ≈ 0,91 A
(c) Se você deixar a lâmpada ligada por 31 dias seguidos, quanto terá que pagar para a Eletropaulo? (Você terá que procurar o preço do kWh na sua conta de luz)
31 dias são 744 horas. Se P = 100 W, então a energia consumida em 31 dias será: Energia = 100 W × 744 h = 74,4 kWh
Na minha conta de luz, 1 kWh equivale a R$ 0,2965. Portanto, terei de pagar aproximadamente R$ 22,00

5. Acúmulo de Carga em Junções
Mostre que na junção entre dois condutores haverá um acúmulo de carga q_a = ε₀I(ρ₂ - ρ₁), onde I é a corrente que passa pelo fio e ρ₁ e ρ₂ são as resistividades de cada material. [Dica: Calcule o campo elétrico em cada material e, em seguida, use a lei de Gauss na interface.]
A densidade de corrente é a mesma para ambos os fios, assim como a área da seção transversal. Então, da relação J = σE = E/ρ, teremos que:
E₁ = (I/A)ρ₁; E₂ = (I/A)ρ₂
Utilizando como superfície de Gauss um cilindro que engloba a interface entre os fios, vemos que o fluxo de campo será não nulo somente nas extremidades. Ou seja, Φ = ∫ E⋅dA = AE₂ - AE₁
Note que na extremidade que está no material 1, a normal é na direção oposta ao campo e, por essa razão, o fluxo é negativo. Usando agora a lei de Gauss, teremos que Φ = Q_int/ε₀. A carga interna é precisamente q_a, a carga na interface. Ou seja, q_a = ε₀Φ = ε₀A(E₂ - E₁) = ε₀A((I/A)ρ₂ - (I/A)ρ₁).
Logo: q_a = ε₀I(ρ₂ - ρ₁)

6. Pilhas
Todas as pilhas (AAA, AA, A, ..., D) possuem força eletromotriz máxima de 1,5 V. A diferença entre elas está no tempo de vida médio. A pilha AAA possui um tempo de vida médio de aproximadamente 0,5 A·h, ao passo que para uma bateria do tipo D (aquela que é bem, bem grande) este valor sobe para 10 A·h. Obviamente, estes números variam de fabricante para fabricante, mas são aproximadamente corretos.
Considere, por exemplo, uma lâmpada em sua casa. Compare o quão mais caro é usar uma pilha AAA para alimentá-la, frente à eletricidade comum. Faça o mesmo para a pilha do tipo D (você terá que estimar preços para as pilhas e olhar o valor do kWh da eletricidade comum na sua conta de luz).
Na minha conta de luz, eu pago R$ 0,2965 pelo kWh. Para as pilhas, usando que P = VI, teremos:
AAA: 1,5 V × 0,5 A·h = 0,75 Wh
D: 1,5 V × 10 A·h = 15 Wh
Na Kalunga, uma pilha AAA custa R$ 2,20. Ou seja, pago R$ 2,20 por 0,75 Wh. Então, por um kWh, estarei pagando R$ 2933! Já a pilha D custa na Kalunga R$ 5,00. Ou seja, o preço do kWh neste caso é R$ 333. Portanto, mesmo para uma pilha do tipo D, a eletricidade custa aproximadamente 1000 vezes mais que a eletricidade convencional.

7. Circuitos e Lâmpadas
Considere o circuito abaixo com uma bateria (com resistência interna desprezível) ligada a três lâmpadas incandescentes (A, B e C), todas com a mesma resistência, e três chaves (1, 2 e 3). Assuma que a resistência das lâmpadas seja independente da corrente e que, quando a corrente passa por ela, ela brilha; quanto maior a corrente, maior será seu brilho. Nas situações (a), (b) e (c) abaixo, quero saber quais lâmpadas estão brilhando (e quais não estão) e qual o brilho relativo de cada (em relação às outras). Em todos os casos, discuta claramente o seu raciocínio.

(a) A chave #1 está fechada; as outras estão abertas. Com as chaves 2 e 3 abertas, não haverá nenhum caminho para a corrente fluir e, portanto, as três lâmpadas permanecerão apagadas.
(b) As chaves #1 e #2 estão fechadas; a #3 está aberta. Neste caso, apenas as lâmpadas A e B ficarão acesas, ambas brilhando com a mesma intensidade.
(c) As três chaves estão fechadas. As três lâmpadas estarão acesas. Mas, como a corrente que passa por A se divide para passar por B e C, a luminosidade de A será maior (B e C terão a mesma luminosidade).
(d) Agora, compare os resultados dos itens (a), (b) e (c). Qual lâmpada é a mais brilhante de todas e qual a menos brilhante (lâmpadas desligadas não contam)?
No item (b), a corrente passando por A e B era I = ε/(2R), já que a resistência equivalente do circuito em série é 2R. No item (c), as lâmpadas B e C se associarão em paralelo com resistência efetiva R/2. Em seguida, esta deve ser associada em série com A, resultando em uma resistência efetiva total 3R/2. Portanto, a corrente passando por A será I = 2ε/(3R). Em termos relativos (fazendo ε/R = 1), teremos então, da maior para a menor:
A no item (c): 2/3
A e B no item (b): 1/2
B e C no item (c): 1/3

Lista 4: Campos Magnéticos e Força de Lorentz

2. Propriedades do Campo Magnético
(a) Um campo magnético constante é capaz de pôr em movimento um elétron inicialmente em repouso? Não é possível. A força magnética não realiza trabalho. Ela não é capaz de fornecer energia cinética (ou potencial, ou qualquer tipo de energia) ao sistema. Outra forma de ver isso é simplesmente lembrar que F_M = q(v × B). Como v = 0, a força sempre será nula.
(b) É possível que um campo magnético constante altere a energia cinética de uma partícula carregada? Não. Novamente, o campo magnético é capaz somente de defletir a trajetória da partícula, mas não de realizar trabalho (ou seja, fornecer-lhe energia). A prova deste fato é simples. Pela definição de trabalho:
W_M = ∫ F_M ⋅ dx = ∫ F_M ⋅ (v dt) = ∫ qv ⋅ (v × B) dt
Mas, pela definição de produto vetorial, (v × B) é um vetor perpendicular tanto a v quanto a B. Por outro lado, o produto escalar é nulo sempre que dois vetores são perpendiculares. Portanto, v ⋅ (v × B) = 0, sempre (para qualquer vetor). Ou seja, W_M = 0.
(c) Se uma partícula está se movendo em linha reta em uma certa região do espaço, é possível concluir que o campo magnético nesta região é nulo? Considere a expressão F_M = q(v × B). Claramente, se B = 0, a força será nula. No entanto, também é possível que tenhamos v || B. Neste caso, v × B = 0 e a força se anula da mesma forma. Ou seja, não necessariamente precisamos de B = 0 para termos F_M = 0.

3. Fio Levitando
Um fio de cobre de diâmetro d, que carrega uma densidade de corrente J, está disposto no equador onde o campo magnético da Terra é horizontal, aponta para o norte e tem magnitude |B_T| = 0,5 G. O fio está em um plano paralelo à superfície da Terra, disposto na direção leste-oeste. A densidade do cobre é ρ_massa = 8,9 × 10³ kg/m³ e a resistividade é ρ_R = 1,7 × 10⁻&sup8; Ω·m.
(a) Qual deverá ser o sentido de J para que o fio possa levitar? Procuramos um sentido para J tal que a força magnética no fio seja para cima, compensando a força gravitacional. Como o campo aponta para o norte, vemos que o sentido de J deve ser de Oeste para Leste.
(b) Calcule a magnitude de J; use g = 9,8 m/s².
Seja L o comprimento do fio. Então, a força magnética será F_M = ILB = (JA)LB = J(Volume)B, onde Volume é o volume do fio. Por outro lado, a força gravitacional é F_g = mg = ρ_massa (Volume) g. Igualando ambas, chegamos a: J = (ρ_massa g) / B = (8,9 × 10³ kg/m³)(9,8 m/s²) / (0,5 × 10⁻⁴ T) = 1,74 × 10&sup9; A/m².
(c) Quando o fio estiver flutuando, qual será a potência dissipada por m³? Expresse sua resposta também em kW/cm³.
Pela definição de potência, temos: P = RI² = (ρ_R L/A) I² = (ρ_R L/A) (JA)² = ρ_R J² (LA).
Portanto, P/Volume = ρ_R J². Substituindo valores:
P/Volume = (1,7 × 10⁻&sup8; Ω·m)(1,74 × 10&sup9; A/m²)² = 5,15 × 10¹&sup0; W/m³ ≈ 51,5 kW/cm³.
Conclusão: o fio vai esquentar à beça.

4. Força de Lorentz
Uma partícula com carga q e velocidade v entra em uma região com campos elétrico e magnético cruzados (vide figura). Se q < 0 e E > vB, então a força na partícula:
(f) Muda tanto em magnitude quanto em direção, e a partícula atinge a tela acima da abertura. Ao entrar na região da figura, a força que a partícula irá sofrer é F = q(E + v × B). Por um lado, como q < 0 e E é para baixo, qE será para cima. Por outro lado, B está entrando na página e (v × B) será para cima; como q < 0, q(v × B) será para baixo. Mas E > vB, fazendo com que a resultante seja para cima. No entanto, note que o campo elétrico realiza trabalho, acelerando a partícula. Por essa razão, a força muda em magnitude e direção ao longo de toda a trajetória.

5. Espectrômetro de Massa: Enriquecimento de Urânio

A figura abaixo ilustra um desenho esquemático de um espectrômetro de massa. Considere um íon de massa m, carregado com uma carga q = +e (ou seja, o átomo perdeu um elétron). Este íon é produzido no cátodo através de uma descarga elétrica que resulta em um vapor de íons. Entre o cátodo e a primeira fenda, aplicamos uma diferença de potencial V, que acelera o íon para a direita. Entre a primeira e a segunda fenda, há um seletor de velocidades: um sistema com campos elétrico e magnético cruzados. Suponha que o campo E é fixo, ao passo que o campo B₁ é variável. Ajustando-o, podemos forçar que apenas partículas com uma certa velocidade, v, passem pela segunda fenda. Estas partículas então adentram outra região com um campo B₂ apontando para fora da página. Com isso, a partícula se move em um semicírculo e atinge um detector a uma distância x da fenda 2 (vide figura). Suas respostas devem ser expressas em termos de E, e, x, m, V e B₂.
(a) Calcule a velocidade, v, que o íon atinge após ser acelerado na região entre o cátodo e a primeira fenda.
Igualando a energia cinética adquirida com a diferença em energia potencial, temos: (1/2)mv² = eΔV. Portanto, v = √(2eΔV/m).
(b) Qual deve ser a magnitude do campo B₁ no seletor de velocidades para que o íon passe sem ser desviado?
Nesta configuração, eE é para cima e ev × B₁ é para baixo. Em valores absolutos, para que a força total seja nula, devemos ter E = vB₁. Portanto, B₁ = E/v = E√(m/(2eΔV)).
(c) Encontre uma expressão para a massa da partícula após ela colidir com o detector. Este resultado é bastante geral e serve para outras aplicações do espectrômetro de massa. Por exemplo, se você está interessado em medir a composição química de um gás, então esta fórmula lhe fornece uma relação direta entre a massa da molécula e a distância que ela irá percorrer no espectrômetro.
Ao entrar na região com B₂, a trajetória do íon será um semicírculo. A força magnética irá atuar como uma força centrípeta, o que nos permite escrever: mv²/r = evB₂ ⇒ m = (eB₂r)/v. Mas cuidado: v depende de m. Usando o resultado do item (a), teremos:
m = (eB₂r) / √(2eΔV/m). Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, obtemos: m² = (eB₂r)² × (m/(2eΔV)) ⇒ m = (e(B₂r)²) / (2ΔV).
Finalmente, devemos lembrar que x é o diâmetro: r = x/2. Portanto, m = (eB₂²x²) / (8ΔV).
(d) Agora aplique o seu resultado ao problema do enriquecimento de urânio: calcule a razão x₂₃₈/x₂₃₅ entre a distância percorrida por um íon de U-238 e um íon de U-235 (sua resposta deve ser um número).
Do resultado anterior, assumindo que B₁ tenha sido ajustado de acordo para cada isótopo, teremos que:
m₂₃₈/m₂₃₅ = (x₂₃₈/x₂₃₅)². Como m₂₃₈/m₂₃₅ = 238/235 = 1,01277. Obtemos x₂₃₈/x₂₃₅ = √1,01277 ≈ 1,00636. Ou seja, a diferença é extremamente pequena, ilustrando a dificuldade de implementação deste tipo de processo.

6. Espira Quadrada
Considere um fio de comprimento a, por onde passa uma corrente I (vide figura). O campo magnético gerado no ponto P é B = (μ₀I)/(4πr)(cosθ₂ + cosθ₁), onde θ₁ e θ₂ são os ângulos indicados na figura. Calcule o campo magnético no centro de uma espira quadrada de aresta a. Dica: neste caso, θ₁ = θ₂ = 45°.
Com cosθ₁ = cosθ₂ = cos(45°) = √2/2 e lembrando que, no centro da espira, r = a/2, então o campo produzido por cada fio será:
B₁ = (μ₀I)/(4π(a/2)) × (√2/2 + √2/2) = (μ₀I)/(2πa) × √2 = (√2 μ₀I)/(2πa).
No centro da espira (e somente no centro!), o campo produzido pelos fios são todos na mesma direção. Portanto, o campo total será simplesmente:
B_total = 4B₁ = 4 × (√2 μ₀I)/(2πa) = (2√2 μ₀I)/(πa).

Lista 5: Indução Eletromagnética e Solenóides

3. Integrador de Corrente: Medindo o Campo Magnético da Terra

Um integrador de corrente é um dispositivo que integra (soma) a corrente passando por um circuito ao longo do tempo, a fim de fornecer a carga total que passou por ele. Como I = dq/dt, o integrador de corrente medirá uma carga Q = ∫ I dt. Considere uma bobina circular com 300 voltas e raio r = 5 cm, conectada ao integrador. Tome a resistência total do sistema como sendo 20 Ω. Suponha que, inicialmente, a normal da bobina está paralela ao campo da Terra.
(a) Obtenha uma expressão para a carga medida no integrador se rotacionarmos a bobina em 90° (sem números!).
Pela lei de Ohm, I = ε/R; usando a lei de Faraday, podemos escrever a fem em termos da taxa de variação do fluxo:
I = -(1/R) (dΦ/dt).
Portanto, a carga será simplesmente: Q = ∫ I dt = -(1/R) ∫ (dΦ/dt) dt = -(1/R) ∫ dΦ ⇒ Q = -(1/R)[Φ_f - Φ_i].
Já o fluxo lê-se: Φ_B = NBAcosθ. No início do processo, θ = 0 e no final, θ = π/2. Portanto, Q = -(NBA/R)[cos(π/2) - cos(0)] ⇒ Q = NBA/R.
(b) Suponha que no final do processo mediu-se uma carga Q = 9,4 μC. Calcule o campo magnético da Terra neste local.
Invertendo o resultado do item anterior, podemos escrever o campo da Terra, B_T, em função de Q:
B_T = (QR)/(NA).
Substituindo os valores e lembrando que A = πr², chegamos a B_T ≈ 0,798 G.

5. Solenóide
Um solenóide (que assumimos ideal) tem 30 cm de comprimento e 1 cm de raio, possui 500 voltas e carrega uma corrente de 2 A.
(a) Calcule o campo magnético no centro do solenóide.
B = (μ₀NI)/L = 4,2 × 10⁻³ T = 42 G
(b) Calcule o fluxo magnético através do solenóide (assumindo que o campo seja uniforme).
Φ_B = NBA = N(πr²)B = 0,66 mWb
(c) Calcule a autoindutância do solenóide.
Φ_B = LI. Portanto, L = Φ_B/I = 0,33 mH
(d) Calcule a energia magnética armazenada no solenóide através da relação U_B = (1/2)LI².
U_B = (1/2)LI² = 0,66 mJ
(e) Divida o seu resultado do item anterior pelo volume do solenóide a fim de obter a densidade de energia magnética, u_B.
u_B = U_B/Volume = U_B/(πr²L) = 7 J/m³
(f) Calcule a densidade de energia através da relação u_B = B²/(2μ₀), e verifique se o seu resultado concorda com o item anterior.
u_B = B²/(2μ₀) = (4,2 × 10⁻³ T)² / (2 × 4π × 10⁻&sup7; N/A²) ≈ 7 J/m³
(g) Suponha que passamos a aumentar a corrente a uma taxa de 100 A/s. Qual será a fem induzida no solenóide (em módulo)?
|ε| = dΦ_B/dt = L (dI/dt) = 33 mV