Lógica Proposicional: Conectivos, Tabelas e Problemas
Classificado em Filosofia e Ética
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Tabela Verdade: Negação (~p)
| p | ~p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Conjunção: (e, mas, também, além disso)
| p | q | p ^ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disjunção: (ou)
| p | q | p v q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Disjunção Exclusiva: (ou ele é uma coisa ou ele é outra)
| p | q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Condicional: (se p, então q, p implica q, p, logo q, p somente se q, q segue de p)
É importante observar a ordem, pois ela faz diferença na condicional.
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bicondicional: (p se e somente se q, p é uma condição necessária e suficiente para q)
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Tabela Verdade para 2 Proposições
| p | q |
|---|---|
| V | V |
| V | F |
| F | V |
| F | F |
Tabela Verdade para 3 Proposições
| p | q | r |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
| F | F | F |
Ciência das Leis do Pensamento ou do Raciocínio
Principais Pensadores:
- Leibniz (1646-1716)
- George Boole (1815-1864)
- Aristóteles (384-322 a.C.)
Classificação da Lógica:
- Lógica Indutiva: Ex: É comum o Corinthians ganhar as partidas que disputa. Como o Corinthians está jogando, então ele ganhará.
- Lógica Dedutiva: Ex: Todo homem é mortal. Dunga é homem. Logo, Dunga é mortal.
Proposições: Argumentos, Premissas e Conclusão
- Exemplo 1:
- Premissa: Todo número par é divisível por 2.
- Premissa: O número 8 é divisível por 2.
- Conclusão: Logo, o número 8 é um número par.
- Exemplo 2:
- Premissa: Todo estudante adora matemática.
- Premissa: Felipe é um estudante.
- Conclusão: Logo, Felipe adora matemática.
- Exemplo 3:
- Premissa: Se não chover eu vou jogar futebol.
- Premissa: Não choveu.
- Conclusão: Portanto, eu vou jogar futebol.
O que é uma Proposição?
Princípios Fundamentais:
- Identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira. Uma proposição falsa é falsa.
- Não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
- Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Fórmulas Lógicas Complexas:
p: Está frio. q: Está chovendo.
- ~p ^ ~q: Não está frio e não está chovendo.
- (p ^ ~q) → p: Se está frio e não está chovendo, então está frio.
- p v ~q: Está frio ou não está chovendo.
- p → ~q: Se está frio, então não está chovendo.
- p ↔ ~q: Está frio se e somente se não está chovendo.
Tradução de Sentenças para Lógica Simbólica
p: Gisele é alta. q: Gisele é elegante.
- Gisele é alta e elegante. p ^ q
- Gisele é alta, mas não é elegante. p ^ ~q
- Não é verdade que Gisele é baixa e elegante. ~(~p ^ q)
- É falso que Gisele é baixa ou que não é elegante. ~(~p v ~q)
Ordem de Precedência dos Conectivos Lógicos
A ordem de precedência, do mais forte para o mais fraco, é:
- Negação (~)
- Conjunção (^) ou Disjunção (v)
- Condicional (→)
- Bicondicional (↔)
Portanto, o conectivo mais fraco é a negação e o mais forte é a bicondicional.
Expressões em Português e seus Conectivos Lógicos
- Conjunção (^): e, mas, também, além disso
- Disjunção (v): ou
- Condicional (→): se p, então q; p implica q; p, logo q; p somente se q; q segue de p
- Bicondicional (↔): p se e somente se q; p é uma condição necessária e suficiente para q
- Negação (~): não p; é falso que p; não é verdade que p
Problema 1: As Moças na Sala de Aula
Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala de aula. Elas são: Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa. Agora responda:
- Quantas estão entre Marina e Marisa? 3
- Quem está no meio? Maria
- Quem está entre Matilde e Mariana? Maria
- Quem está entre Marina e Maria? Mariana
- Quantas estão entre Marisa e Mariana? 2 (duas)
Problema 2: Qual é o Número que Falta?
Qual é o número que falta no quadrado a seguir?
| 5 | 10 | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 14 | 8 |
| 3 | 10 | (7) |
Problema 3: Alunos e Livros da Biblioteca
Quatro alunos da escola retiraram livros da Biblioteca. Cada um deles é de uma série diferente e seus nomes são: João, Felipe, Luiza e Paula. Eles estão lendo gêneros literários diferentes: suspense, humor, aventura e romance. Um deles está na página 8, outro na página 34, o terceiro na página 67 e o último, quase terminando o livro, está na página 108. Você deverá descobrir: o nome e a série de cada criança, o tipo de livro que ela está lendo e em que página cada uma está. Para isso, siga com atenção as pistas abaixo:
- João está na página 67.
- A garota da 1ª série está bem no começo do livro de humor.
- Felipe, que está na 4ª série, não lê livros de suspense, nem romances.
- Paula está na 2ª série, mas não está na página 108.
- O menino da 3ª série está lendo um romance.
Solução:
- João: 3ª série / Romance / Página 67
- Luiza: 1ª série / Humor / Página 08
- Felipe: 4ª série / Aventura / Página 108
- Paula: 2ª série / Suspense / Página 34
Problema 4: Festa e Ingressos
Foram em uma festa 30 pessoas e gastaram R$30,00 com os ingressos, sendo que:
- Homem paga R$2,00
- Mulher paga R$0,50
- Criança paga R$0,10
Sendo assim, quantos homens, quantas mulheres e quantas crianças entraram na festa?
Resposta: 14 Homens, 1 Mulher, 15 Crianças
Tautologia, Contradição e Contingência
- Tautologia: É uma proposição cujos valores de sua tabela-verdade são sempre verdadeiros.
- Contradição: É uma proposição cujos valores lógicos de sua tabela-verdade são sempre falsos.
- Contingência: É uma composição que não é Tautologia e nem Contradição.
Equivalências Lógicas
Equivalências Lógicas são usadas para: Demonstração de Argumentos Válidos e Conjuntos e suas Propriedades. Por ter características semelhantes à aritmética sobre números, tais propriedades são conhecidas como "Álgebra das Proposições".
Problema: O Filme "Tudo é uma Questão de Lógica"
Três amigos resolveram ir ao cinema ver um filme, mas naquele horário só tinha a opção "Tudo é uma questão de lógica". Então surgiu uma discussão, pois alguns afirmavam já ter assistido ao filme:
- Tuca: Se Joca não assistiu, então Kika também não assistiu.
- Joca: Tuca não assistiu o filme, mas Kika assistiu.
- Kika: Eu assisti o filme ou Joca não assistiu.
Sejam as proposições:
- p: Tuca assistiu o filme.
- q: Joca assistiu o filme.
- r: Kika assistiu o filme.
Usando a tabela-verdade, responda às seguintes questões:
- Se todos assistiram o filme, quem está mentindo?
- Se todos estão dizendo a verdade, quem não assistiu o filme?
Resolução do Exercício:
Depoimento de Tuca: ~q → ~r
| p | q | r | ~q | ~r | ~q → ~r |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | V | F | F | V | V |
| V | F | V | V | F | F |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | F | F | V |
| F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | F | F |
| F | F | F | V | V | V |
Depoimento de Joca: ~p ^ r
| p | q | r | ~p | ~p ^ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F |
| V | V | F | F | F |
| V | F | V | F | F |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F |
| F | F | V | V | V |
| F | F | F | V | F |
Depoimento de Kika: r v ~q
| p | q | r | ~q | r v ~q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V |
| V | V | F | F | F |
| V | F | V | V | V |
| V | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | F |
| F | F | V | V | V |
| F | F | F | V | V |
Tabela Verdade Geral:
| p | q | r | Tuca (~q → ~r) | Joca (~p ^ r) | Kika (r v ~q) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | V |
| V | V | F | V | F | F |
| V | F | V | F | F | V |
| V | F | F | V | F | V |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F |
| F | F | V | F | V | V |
| F | F | F | V | F | V |
Respostas:
- Se todos assistiram o filme (p=V, q=V, r=V), estamos na primeira linha da Tabela Verdade Geral. Vemos que o depoimento de Joca é Falso. Logo, Joca está mentindo.
- Se todos estão dizendo a verdade, procuramos uma linha onde Tuca, Joca e Kika são todos Verdadeiros. Essa linha é a quinta (p=F, q=V, r=V). Nesta linha, Tuca não assistiu ao filme.