Matemática Financeira: Conceitos, Juros Simples e Taxas

Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira

Matemática Financeira é o estudo do dinheiro ao longo do tempo.

Os 3 elementos fundamentais na análise econômico-financeira são:

• Fluxo de Caixa
• Ocorrência (Tempo)
• Taxa de Juros

O dinheiro tem um custo associado ao tempo.

Definições Chave

Juros:

• Custo do capital para quem o toma emprestado.
• Remuneração do capital para quem o empresta.

Taxa de Juros: Preço ou valor do dinheiro.

Capital (VP): É o valor inicial (Valor Presente) ou principal.

Valor Futuro (VF): É o valor a ser resgatado, valor nominal ou de face.

Montante: É a soma do capital com os juros (VF = VP + J).

Prestação (PMT): É o fluxo financeiro da operação.

Capitalização: É o processo de agregar ao capital os juros gerados pela aplicação.

Razão = Divisão

Juros Simples

Juros Simples: Ocorre quando não há capitalização dos juros, ou seja, não são cobrados juros sobre juros.

Fórmula dos Juros Simples:

J = VP * i * n

• J = Total de Juros
• VP = Valor Presente (Capital)
• i = Taxa de Juros
• n = Número de Períodos

Na Equação de Juros Simples, o montante (VF) pode ser definido como:

VF = VP + (VP * i * n)

Ou, colocando VP em evidência:

VF = VP * (1 + i * n)

Atenção: A Taxa (i) e o Número de Períodos (n) devem estar na mesma base temporal!

A fórmula principal dos Juros Simples é: VF = VP * (1 + i * n). A partir dela, é possível encontrar as fórmulas para VP, i e n.

Tipos de Taxas de Juros

Taxa Nominal

Quando a unidade de tempo expressa na taxa é maior que a unidade de tempo do período de capitalização, dizemos que essa taxa é nominal.

Exemplo: Taxa de juros de 6% ao ano, com capitalização mensal.

Taxa Proporcional

É a taxa nominal devidamente adequada ao número de períodos de capitalização da operação financeira.

Exemplo de Cálculo: Para uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, a taxa trimestral proporcional será:

ip = (24% / 12) * 3 = 6%

Exercício: Calcule a taxa mensal proporcional a:

• 18% ao ano: ip = 18% / 12 = 1,5% a.m.
• 12% ao semestre: ip = 12% / 6 = 2% a.m.

Equivalência de Capitais

Dizemos que dois ou mais capitais são equivalentes quando estão expressos em períodos de capitalização diferentes, mas, quando aplicados a um mesmo capital, com prazos idênticos, produzem montantes iguais.

Exemplos Práticos (Juros Simples)

Exemplo 1: Cálculo de Juros

Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00 aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias.

Temos: J = C * i * n

Primeiro, ajustamos a taxa para a mesma unidade de tempo (dias):

i (diária) = 0,36 / 360 = 0,001 a.d.

Como a taxa e o período estão na mesma unidade de tempo (dias), podemos calcular diretamente:

J = 40.000 * 0,001 * 125 = R$ 5.000,00

Exemplo 2: Cálculo de Montante

Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Fórmula: M = C * (1 + (i * n))

Ajustando o tempo (n) para a base anual da taxa (i):

M = 70.000 * [1 + (0,105 * (145 / 360))] = R$ 72.960,42

Desconto

Desconto: É a diferença entre o Valor Futuro (VF) de um título e o seu Valor Presente (VP) quando o título é negociado antes do vencimento.