Mecânica dos Fluidos: Exercícios Resolvidos de Hidrostática e Viscosidade

Mecânica dos Fluidos

Lista 1 - Parte 2

Viscosidade e Estática dos Fluidos

Q1) Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 3,6 km/h, enquanto a inferior está imóvel. Considerando que um óleo apresenta viscosidade de 1 poise e ocupa o espaço entre as placas, determine a tensão de cisalhamento sobre o óleo (no SI). (Dado: 1 Poise = 0,1 N.s/m²)

Resp.: 33,3 N/m² = 33,3 Pa.

V₀ = 3,6 km/h = 1 m/s
E = 3 mm = 3 . 10^-3 m
τ = μ . V₀ / E = 1 . 10^-1 . 1 / 3 . 10^-3
τ = 0,333 . 10²
τ = 33,3 N/m² = 33,3 Pa

Q2) Em uma experiência com duas placas, o perfil de velocidades do óleo entre elas é linear. Considerando que a velocidade da placa superior é de 100 cm/s, a distância entre elas mede 0,2 mm e a tensão de cisalhamento é de 2.10³ N/m², determine a viscosidade absoluta desse óleo em poise. (Dado: 1 poise = 0,1 N.s/m²)

Resp.: 4 Poise.

V₀ = 100 cm/s = 1 m/s
E = 0,2 mm = 0,2 . 10^-3 m = 2 . 10^-4 m
τ = 2 . 10³ N/m²
τ = μ . V₀ / E
μ = τ . E / V₀
μ = (2 . 10³ . 2 . 10^-4) / 1
μ = 4 . 10^-1 N.s/m² = 0,4 N.s/m² = 4 Poise

Q3) Uma placa move-se sobre outra, havendo entre elas uma camada de líquido. A placa superior tem velocidade constante de 60 cm/s. Para uma pequena altura de líquido, com camada ε = 0,3 mm, podemos supor um gradiente linear de velocidades. A viscosidade absoluta do líquido é 0,0065 g/cm.s. Considerando g ≅ 10 m/s², determine em unidades do SI:

a) a viscosidade absoluta do líquido. Resp.: 6,5 . 10^-4 N.s/m².

N.s/m² = Kg.m.s / s².m² = Kg/m.s
μ = 0,0065 g/cm.s = 6,5 . 10^-3 . 10^-3 Kg / 10^-2 m.s
μ = 6,5 . 10^-4 N.s/m²

b) a tensão de cisalhamento. Resp.: 1,3 Pa.

τ = 6,5 . 10^-4 (0,6 / 0,3 . 10^-3)
τ = 13 . 10^-1 N/m² ou 1,3 Pa

Q4) São dadas duas placas planas e paralelas à distância de 2 mm uma da outra. A placa superior move-se com velocidade constante de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (ν = 0,1 St; ρ = 830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo, em Pa? (Dado: 1 St = 10^-4 m²/s)

Resp.: 16,6 Pa.

E = 2 mm = 2 . 10^-3 m
V₀ = 4 m/s
ν = 0,1 St = 1 . 10^-5 m²/s
ρ = 830 kg/m³
ν = μ / ρ
μ = ν . ρ
μ = 1 . 10^-5 . 830
μ = 8,3 . 10^-3 N.s/m²
τ = μ . (V₀ / E)
τ = 8,3 . 10^-3 . (4 / 2 . 10^-3)
τ = 16,6 N/m² = 16,6 Pa

Q5) A placa na figura (não exibida) é apoiada no topo de um filme de água, a certa temperatura. Quando uma pequena força F tangencial é aplicada à placa superior, o perfil de velocidades através da espessura do fluido pode ser descrito pela expressão v(y) = (40y - 800y²) m/s, onde y está em metros. Dada a viscosidade dinâmica da água igual a 0,897 . 10^-3 N.s/m², determinar:

a) a velocidade de cada placa, em m/s. Resp.: 0 e 0,32 m/s.

v(y) = (40y - 800y²) m/s
v(0) = 40 . 0 - 800 . 0² = 0 m/s (inferior)
y = 10 mm = 10 . 10^-3 m = 10^-2 m = 0,01 m
v(0,01) = (40 . 0,01 - 800 . 0,01²)
v(0,01) = 0,32 m/s (superior)

b) a tensão de cisalhamento em cada placa, em mPa. Resp.: 35,88 mPa e 21,53 mPa.

Água
μ = 0,897 . 10^-3 N.s/m² = 8,97 . 10^-4 N/m²
dv/dy = 40 - 1600y
τ = μ . dv/dy
τ = μ (40 - 1600y)
y = 0
τ = 8,97 . 10^-4 . (40 - 1600 . 0)
τ = 35,88 . 10^-3 N/m² = 35,88 mPa
y = 0,01 m
τ = 8,97 . 10^-4 . (40 - 1600 . 0,01)
τ = 21,53 . 10^-3 N/m² = 21,53 mPa

Q6) Um fluido, de viscosidade absoluta igual a μ = 10^-2 N.s/m², está escoando com um gradiente de velocidades parabólico, conforme mostra a figura abaixo (não exibida). Determinar:

a) a expressão da velocidade do fluido em função da coordenada y, ou seja, v(y). Resp.: v(y) = -0,75y² + 3y + 2.

y = 0 m, v(0) = 2 m/s
y = 2 m, v(2) = 5 m/s
v(y) = ay² + by + c
v(0) = a . 0² + b . 0 + c = 2
c = 2
v(y) = ay² + by + 2
dv(y)/dy = 0
2ay + b = 0 para y = 2 m
(2a . 2 + b) / 4a = -b = 0
b = 4a
Substituindo v(y) = ay² + by + 2
v(2) = a . 2² + (-4a) . 2 + 2 = 5
4a - 8a + 2 = 5
b = -4a
b = -4(-3/4)
b = 3
v(y) = -0,75y² + 3y + 2

b) a tensão de cisalhamento junto à placa, em N/m². Resp.: 0,03 N/m².

v(y) = -0,75y² + 3y + 2
dv/dy = -1,5y + 3
τ = μ . dv/dy
τ = 10^-2 (-1,5y + 3)
y = 0 => τ = 10^-2 (-1,5 . 0 + 3)
τ = 3 . 10^-2 N/m²
y = 2
τ = 10^-2 (-1,5 . 2 + 3)
τ = 0 N/m²

Q7) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades do SI. Adotar g = 10 m/s² e γ_água = 10.000 N/m³.

Resp.: 23,8 N.s/m².

γ_r = γ / γ_H2O
γ = γ_r . γ_H2O
γ = 0,85 . 10.000
γ = 8.500 N/m³
γ = ρ . g
ρ = γ / g = 8.500 / 10
ρ = 850 kg/m³
ν = μ / ρ
μ = ν . ρ
μ = 0,028 . 850
μ = 23,8 N.s/m²

Q8) A viscosidade dinâmica de um óleo é 5 . 10^-3 N.s/m² e o seu peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática no SI. Adotar g = 10 m/s² e γ_água = 10.000 N/m³.

Resp.: 6,1 . 10^-6 m²/s.

μ = 5 . 10^-3 N.s/m²
γ_r = 0,82
g = 10 m/s²
γ_H2O = 10.000 N/m³
γ_r = γ / γ_H2O
γ = γ_r . γ_H2O
γ = 0,82 . 10.000
γ = 8.200 N/m³ (óleo)
γ = ρ . g
ρ = γ / g = 8.200 / 10
ρ = 820 kg/m³
ν = μ / ρ = 5 . 10^-3 / 8,2 . 10²
ν = 0,61 . 10^-5 = 6,1 . 10^-6 m²/s

Estática dos Fluidos

Q9) Um tanque contém água em repouso, conforme a figura ao lado. Considere água = 1 g/cm3 e g = 10 m/s2. Determinar:

a) a diferença de pressão entre os pontos A e B, em kPa. Resp.) a) 10 kPa.

pH2O=1g/cmpH2O=1g/cm³ *10³ 1.10³kg/m³è deltah=hb-hi=2-1==1

deltaP=pgdeltahè deltaP1.10³.10.1è deltaP1.10^4N/m²è deltaP=10000Pa= deltaP=10KPa

b) a força resultante, em kN, devido à água na parede do fundo do tanque cuja área é 2 m2. Resp.) b) 60 kN.

 P=F/AèP=p.g.hèP1.10³.10.3èp=3.10^4N/m²èF=p.AèF=3.10^4.2è

F=6.10^4N ou 60000N ou 60 KN

Q10) As dimensões de uma piscina de fundo plano horizontal são de 25 m de comprimento por 10 m de largura. Sabe-se que a água que a enche exerce uma força normal, de módulo 4,5.10^6 N, sobre o fundo. Qual a profundidade da piscina, em metros? Resp.) 1,8 m.

A=CxL=25x10èA=250m²è2,5.10²m²èP=F/A=4,5.10^6N/2,5.10²m²==

1,8.10^4N/m²èP=p.g.hèh=P/pg=1,8.10^4/1.10³.10 èh=1,8 profundidade

Q11) Uma câmara cilíndrica é usada para fazer imagens do fundo do mar. Para isso, é construída com paredes de aço e um vidro reforçado. Uma pessoa fica em seu interior para fazer a filmagem. A massa da câmara (incluindo a pessoa) é de 3200 kg e a área da sua base é de 1,5 m2. A câmara é mantida por um cabo de aço presa a uma embarcação, permanecendo em equilíbrio, a certa profundidade, de tal forma que a parte inferior da câmara fica a 22 m da superfície, enquanto a parte superior está a 20 m da superfície. Considerando g = 10 m/s2, água = 1 g/cm3 e patm = 100 kPa, determinar, em unidades do SI: Resp.) a) 4,5.10^5 N e 4,8.10^5 N.

a) a força atuante sobre as bases superior e inferior da câmara.

A=1,5m² (área base)è agua= 1g/cm².1000=1000Kg/m²èP1=Patm+pgh1

P1=100000+1000.10.20èP1=100000+200000èP1=300000Pa=3.10^5Pa

P1=F1/AèF1=P.Aè3.10^5.1,5èF1=4,5.10^5N

P2=Patm+pgh2èP2=100000+1000.10.22èP2=100000+220000è

P2=320000=3, 2.10^5PaèP2=F2/AèF2=P2.AèF2=3, 2.10^5.1,5è

F2=4,8.10^5N

b) a força resultante sobre a câmara devido a água. Resp.) b) 3.104 N.

Fr=F2-F1èFr=4, 8.10^5-4, 5.10^5èFr=0, 3.10^5=3.10^4

c) a força de tração no cabo que mantém a câmara em equilíbrio. Resp.) c) 2.103 N.

Ef=0èT+Fx=_PèT=_P-Frè_P=m.g=320.10è_P=32000N=3,2.10^4è

T=3,2.10^4-3.10^4èT=0,2.10^4=T=2.10³N

Q12) Os vasos comunicantes da figura ao lado contém dois líquidos, sendo eles imiscíveis e, portanto, denominados de 1 e 2. Sabendo que as densidades dos líquidos são 1 = 0,8 g/cm3 e 2 = 1,2 g/cm3, respectivamente, e que a altura da coluna do líquido 2 (h2) é de 2 cm, determinar o valor da altura da coluna do líquido 1 (h1), em cm. Resp.) 3 cm.

 p1=p2 èpatm+p2gh1=patm+p2gh2èp1gh1=p2gh2èp1h1=p2h2è

h1=(p2.h2)/p1è(h1=1,2g/cm.2cm)/0,8g/cm³èh1=2,4/0,8èh1=3cm

Q13) Os ramos de uma prensa hidráulica têm áreas de 20 cm2 e 50 cm2, respectivamente. É exercida sobre o êmbolo menor uma força F1 = 60 N.

a) Qual será a força F2, em N, transmitida ao êmbolo maior? Resp.) a) 150 N.

A1=20  A2=50cm² F1=60NèF1/A1=F2/A2è60N/20cm²=F2/50cm²è3=F2/50

F2=3.50èF2=150N

b) Qual o deslocamento sofrido pelo êmbolo maior, em cm, considerando que o êmbolo menor sofreu um deslocamento de 5 cm? Resp.) b) 2 cm.

H1=5cm èA1.h1=A2.h2èA2=(A1.h1)/h2èA2=(20cm²).5cm/50cmèA2=2cm

c) Qual o trabalho realizado, em J, pelos êmbolos? Resp.) c) 3 J e 3 J.

W1=F1.h2=60N.0,05èW1=3JèW2=F2.h2=150N.0,02mèW2=3J

Q14) Um corpo homogêneo, de volume 0,16 m3, flutua em um líquido de densidade 0,8.103 kg/m3, de tal forma que o volume da parte emersa seja de 0,04 m3. Determinar:

a) empuxo e peso do corpo, em N. Resp.) a) 960 N e 960 N.

E=pL.g.VLDèE=0,8.10³.10.0,12èE=960Nèno equilíbrioèP=EèP=960N

b) densidade do corpo, em kg/m3. Resp.) b) 0, 6.103 kg/m3.

_P=mgè960=m.10èm=960/10èmcorpo=96Kgè

pcorpo=mcorpo/vcorpo=96Kg/0,16m³èpcorpo=600kg/m³=6.10²Kg/m³

Q15) Um cilindro metálico, de área de base A = 10 cm² e altura H = 8 cm, está flutuando em mercúrio (mercúrio = 13,6 g/cm³), conforme a figura ao lado. A parte do cilindro mergulhada no líquido é h = 6 cm. a) Qual o valor do empuxo sobre o cilindro? Resp.) a) 8,16 N.

Phg=13,6g/cm³  .10^3 =13,6.10³Kg/m³èVLd=Vi=Ah=10cm².6cm

VLd=60cm.10^-6 =6.10^-5m³èE=phg.g.VLd=13,6.10³.10.6.10^-5èE=8,16N

b) Qual é o peso do cilindro metálico? Resp.) b) 8,16 N.

no equilíbrioèPc=EèPc=8,16N

c) Qual a densidade do cilindro metálico?Resp.) c) 1,02.104 kg/m3.

Pc=mcgè8,16=mc.10èmc=8,16/10=0,816Kg=8,16.10-¹kg

VcAH=10m².8cm=80cm³ .10^-6 =8.10^-5m³è

pc=mc/Vc==8,16.10^-¹kg/8.10^-5m³ èpc=1,02.10^4Kg/m³=10,2.10³Kg/m³

Q16) Uma esfera, de volume 100 cm3 e massa de 250 g, é totalmente mergulhada na água de uma piscina. Em seguida, é abandonada do repouso, de uma posição próxima à superfície. Considerando que a profundidade da piscina é de 6 m, g = 10 m/s2 e água = 1 g/cm3, determinar:

a) a densidade da esfera. Resp.) a) 2,5 g/cm3.

p=m/V=250g/100cm²èp2,5g/cm²

b) empuxo sobre ela. Resp.) b) 1 N.

E=pH2O.g.VLdèpagua=1g/m² *10³ 1.10³Kg/m³èVLd=V=100cm³ *10^-6 =1.10^-4m³èE=1.10³.10.1.10^-4èE=1N

c) peso aparente da esfera. Resp.) c) 1,5 N.

_P=m.g=0,25.10è_P=2,5Nè_Pap=_P-Eè_Pap=25-1è_Pap=1,5N

d) tempo gasto para que a esfera alcance o fundo da piscina. Resp.) d) 1,41 s.

Fr=m.aè1,5=0,25.aèa=1,5/0,25èa=6m/s²èMRUVè

yf=yi+vyt+(a/2).t²è6=0+0t+(6/2).t²èt²=(6/3)èt²=2èt=√2èt=1,41s2