Medições, Erros e Algarismos Significativos — Listas

Lista 1

1) Escreva, na forma correta considerando os A.S. (algarismos significativos), as medidas efetuadas das peças compridas, com as réguas abaixo (neste exercício a unidade não importa):

2) Indique quantos algarismos significativos as medidas abaixo têm:

1. a) 0,0021 — (2 A.S.)
2. b) 203,02 — (5 A.S.)
3. c) 0,2045 — (4 A.S.)
4. d) 2,30 — (3 A.S.)
5. e) 0,04 — (1 A.S.)
6. f) 30,01 — (4 A.S.)
7. g) 104 — (3 A.S.)
8. h) 0,000032 — (2 A.S.)
9. i) 0 — (nenhum A.S.)
10. j) 2,0 — (2 A.S.)
11. k) 1001 — (4 A.S.)
12. l) 0,20003 — (5 A.S.)
13. m) 14000 — (5 A.S.)
14. n) 100,001 — (6 A.S.)
15. o) 0,333333 — (6 A.S.)

3) Utilizando as regras de arredondamento, reescreva estes números abaixo com apenas 1 algarismo significativo:

4) Reescreva os números abaixo com somente 3 algarismos significativos:

Lista 2

1) Para cada figura do instrumento abaixo, indique ou calcule:

• Grandeza física medida e unidade;
• Precisão, faixa dinâmica e ponto zero do instrumento;
• Valor da medida indicada e o erro;
• Acurácia percentual da medida.

2) Considerando as medidas diretas abaixo, calcule a precisão do instrumento utilizado e a acurácia percentual da medida (em todos os instrumentos, o ponto zero da escala é igual a zero):

1. a) (9,87 ± 0,03) cm — p = 0,06 cm
2. b) (0,71 ± 0,02) g — p = 0,04 ou 0,05 g; A.P. = 99,4% ou 93,0%/94,4% (dependendo do arredondamento)
3. c) (453 ± 1) K — p = 2 K; A.P. = 99,6%
4. d) (118 ± 3) km/h — p = 6 km/h; A.P. = 94,9%
5. e) (16,6 ± 0,3) kg — p = 0,6 kg; A.P. = 96,4%
6. f) (2,2 ± 0,1) m — p = 0,2 m; A.P. = 90,9%
7. g) (342,98 ± 0,01) ml — p = 0,02 ml; A.P. = 99,99%
8. h) (3,4217 ± 0,0005) s — p = 0,001 s; A.P. = 99,97%

3) Problema: um cidadão recorreu de uma multa por excesso de velocidade com os seguintes argumentos: a velocidade máxima permitida na via em questão, marcada na sinalização de trânsito, era de 60 km/h. O radar utilizado no controle de velocidade, que tem uma acurácia percentual de 90%, acusou que o carro do suposto infrator estava a 65 km/h. O cidadão argumenta em sua defesa que a precisão do radar não era suficiente para distinguir entre a velocidade indicada e o limite da via. O cidadão está certo ou errado? Por quê?

Resposta: O cidadão está errado. Com acurácia percentual de 90%, para a velocidade medida de 65 km/h a incerteza é de 6,5 km/h. Tomando um erro aproximado (arredondado) de 3 km/h para cada lado, a medida pode ser expressa como (65 ± 3) km/h, ou seja, entre 62 e 68 km/h. Mesmo considerando o limite inferior do erro, a velocidade está acima do limite de 60 km/h. Observação informal mantida: mas vamos e convenhamos, que guarda murrinha...

4) Atividade de medida — diferenciando precisão e acurácia:

Junte umas 30 folhas de papel (pode ser de caderno, usada, etc.), evitando que estejam amassadas e que sejam muito diferentes entre si. Pressione o conjunto de folhas ao máximo e utilize uma régua milimetrada comum para medir a espessura das 30 folhas. Anote a medida e não se esqueça do erro. Divida esta medida e seu erro por 30 para obter a espessura de uma única folha. Calcule a precisão e a acurácia percentual da medida da espessura de uma única folha. Em que casa decimal caiu a precisão? É melhor que a da régua? Parece um bom resultado? Sabendo que uma boa acurácia é da ordem de 90% ou maior, a que você obteve é boa ou ruim? Então, ter boa precisão indica boa acurácia?

Resultados (exemplo):

• Espessura das 30 folhas = (0,29 ± 0,05) cm
• Espessura de 1 folha = (0,010 ± 0,002) cm
• Precisão da espessura de 1 folha = 0,004 cm
• Acurácia percentual da medida da espessura de 1 folha = 60%
• A precisão caiu na terceira casa decimal. É cerca de 12,5 vezes melhor que a precisão da régua (fator ≈25 devido a arredondamentos).
• Embora a precisão aparente seja melhor, a acurácia de 60% não é boa — logo, boa precisão nem sempre implica boa acurácia.

Lista 3

1) Expresse os números abaixo utilizando notação científica:

2) Considerando as regras aprendidas para operações com algarismos significativos, efetue as operações abaixo:

3) Problema “você pegou o maior!!!”: três estudantes tentavam dividir uma barra de chocolate em 3 partes iguais. Como não tinham qualquer instrumento de medida, resolveram medir a barra em polegadas (largura do dedo polegar). O estudante “A” mediu o comprimento em (8,6 ± 0,5) polegadas e a largura em (6,1 ± 0,5) polegadas. O estudante “A” disse que cada um receberia 17,5 polegadas², por conta da precisão das medidas. Já o estudante “B” achava que o certo para cada um seria 17 polegadas², por conta dos algarismos significativos das medidas. O estudante “C” argumentou que, se assim fosse, o pedaço de cada um deveria ser de 2×10¹ polegadas². Qual deles está certo e por quê?

Resposta: Calculemos a área total corretamente: Área = comprimento × largura = 8,6 × 6,1 = 52,46 pol². Dividindo por 3 obtemos 17,48666... pol². Pela regra das operações com A.S., ao multiplicar devemos manter o número de algarismos significativos do fator com menos A.S. As medidas iniciais têm 2 A.S. e 2 A.S.; portanto a área resultante deve ser expressa com 2 A.S.: 52 pol². Ao dividir por 3 (que não é medida), o número de algarismos significativos permanece o mesmo da área: é correto manter 2 A.S. Então o estudante B está correto ao afirmar 17 pol² para cada um. O estudante A aplicou incorretamente regras de casas decimais; o estudante C também errou ao tratar o divisor 3 como um fator com A.S.

4) Atividades de medida:

a) Levando em conta os algarismos significativos dos lados medidos, utilize os lados a, b e c medidos do triângulo utilizado no Laboratório para Casa 2 e calcule o semiperímetro: s = (a + b + c) / 2.

Exemplo ilustrativo (valores hipotéticos):

• a = (78,6 ± 05,0) cm
• b = (32,9 ± 05,0) cm
• c = (1255 ± 05,0) cm
• s = (78,6 + 32,9 + 1255) / 2 = 1432,2 / 2 = 716,1 cm

b) Calcule, utilizando o teorema de Herón para triângulos, a área do triângulo utilizado no Laboratório para Casa 2.

5) Medindo uma elipse:

Para esta atividade você vai precisar da figura que vem anexa a esta lista (última folha). Ela contém uma elipse centrada na origem do plano XY. Utilizando APENAS esta figura, meça o valor do eixo maior (a), que é a distância entre a origem e o maior valor (em módulo) de X sobre a elipse. Meça também o valor do eixo menor (b), que é a distância entre a origem e o maior valor (em módulo) de Y sobre a elipse (não se preocupe com a unidade de comprimento que o gráfico mostra; ela é arbitrária). Anote estes valores, prestando atenção aos algarismos significativos e ao erro da medida. Feito isto, vamos medir a área da elipse com o procedimento abaixo:

a = (10,3 ± 0,5); b = (6,6 ± 0,5)

a) Some os quadrados (formados pelos pontilhados) que estão completamente dentro da elipse e escreva como a quantidade “Qd”: Qd = 180

b) Some as frações dos quadrados que são atravessados pela linha da elipse e estão dentro da área delimitada pela elipse e escreva como a quantidade “Qf”. Conte também o número de quadrados que são atravessados pela linha da elipse e escreva como a quantidade “Ne”. Essas frações devem ser estimadas somente até a primeira casa decimal (por exemplo, metade de um quadrado = 0,5):

Qf = 26,7    Ne = 68

c) Calcule A = Qd + Qf e o seu erro como eA = 5,0 × Ne:

A = 180 + 26,7 = 206,7    eA = 34

d) Escreva corretamente o valor da medida da área na forma (A ± eA):

Área = (2,1 ± 0,3) × 10²

e) Levando em conta algarismos significativos, calcule o produto P entre os dois eixos da elipse, P = a × b:

P = 10,3 × 6,6 = 68

f) Levando em conta algarismos significativos, calcule a razão R entre a área medida e o produto P, ou seja, R = A / P:

R = 2,1×10² / 68 = 3,1

g) O valor teórico da razão R é π = 3,14159265359. Calcule a acurácia percentual verdadeira da sua medida da razão R, pela equação abaixo (atente para o módulo):

Lista 4

1) Suponha que foram medidos a hipotenusa e um cateto de um triângulo retângulo, a saber: h = (19,32 ± 0,05) cm e l1 = (8,93 ± 0,05) cm. Calcule (levando em conta os algarismos significativos e a propagação de erros):

a) o comprimento do outro cateto (l2):

b) o cosseno do ângulo entre h e l1:

c) o perímetro do triângulo:

d) a área do triângulo:

2) Calcule, atentando para algarismos significativos, propagação de erros e unidades do Sistema Internacional de medidas:

3) Problema “o volume de uma caixa”: dois engenheiros estavam debatendo para encontrar o volume de uma caixa (paralelepípedo) metálica. Um deles pegou uma trena de 1 mm de precisão e mediu as dimensões da caixa em centímetros: 20,12 × 12,08 × 9,51. O segundo engenheiro pegou um recipiente de (1,000 ± 0,001) litros, abriu uma torneira em uma vazão pequena e encheu o recipiente, medindo (com um cronômetro de 0,02 s de precisão) um tempo total de 22,35 s para o recipiente ficar completo. Depois colocou a caixa sob a mesma torneira com a mesma vazão e mediu um tempo de 51,62 s para ela ficar cheia de água. Pergunta-se:

a) Qual o volume (e erro) medido pelo primeiro engenheiro?