Métodos Numéricos: Zeros de Funções, Ajuste e Integração

Métodos para Encontrar Zeros de Funções

Método da Bissecção

Fórmula: x̄ = (a+b)/2

Tabela de Iterações:

| a | b | x̄ | f(x̄) |

Método da Falsa Posição

Fórmula: x̄ = [af(b) - bf(a)]/[f(b) - f(a)]

Tabela de Iterações:

| a | f(a) | b | f(b) | x̄ | f(x̄) |

Método do Ponto Fixo

Teorema: f(x) = 0 ⇔ φ(x) = x (Para encontrar φ(x), isole x)

Demonstração:

Ida (⇒): φ(x) = x

Seja φ(x) = x + A(x)f(x).

Se φ(x) = x, então x = x + A(x)f(x), o que implica A(x)f(x) = 0.

Como A(x) ≠ 0, então f(x) = 0.

Volta (⇐): f(x) = 0

Seja φ(x) = x + A(x)f(x).

Se f(x) = 0, então φ(x) = x + A(x) · 0, o que implica φ(x) = x.

Condições de Convergência:

• (i) φ(x) e φ'(x) são contínuas em um intervalo I.
• (ii) |φ'(x)| ≤ M < 1, para todo x pertencente a I.
• (iii) x₀ (chute inicial) pertence a I.

Tabela de Iterações (x̄ = φ(x)):

| It. | x̄        | f(x̄)    |
| 0   | x₀ (chute) | f(x₀)   |
| 1   | x₁        | f(x₁)   |

Método de Newton-Raphson

(Geralmente mais rápido que Ponto Fixo, não exige isolar x para φ(x))

Fórmula: Xn+1 = Xn - [f(Xn)/f'(Xn)]

Tabela de Iterações:

| It. | x̄        | f(x̄)   |
| 0   | x0 (chute) | f(x0)  |
| 1   | x1        | f(x1)  |

Método da Secante

(Não requer cálculo da derivada, mas pode ser mais lento que Newton-Raphson)

Fórmula: xn+1 = xn - [ [f(xn) · (xn - xn-1)] / [f(xn) - f(xn-1)] ]

Tabela de Iterações:

| It. | x̄        | f(x̄)   |
| 0   | x0 (chute) | f(x0)  |
| 1   | x1        | f(x1)  |

Método dos Mínimos Quadrados

Fórmulas para regressão linear y = ax + b:

a = [ (n · ∑xy) - (∑x · ∑y) ] / [ (n · ∑x²) - (∑x)² ]

b = [ (∑y · ∑x²) - (∑x · ∑xy) ] / [ (n · ∑x²) - (∑x)² ]

Integração Numérica

Quadratura de Gauss-Legendre (2 Pontos)

Fórmula: Integral ≈ A1 · f(x1) + A2 · f(x2)

Onde:

• A1 = A2 = (b-a)/2
• x1 = [(b-a)/2 · (-1/√3)] + [(b+a)/2]
• x2 = [(b-a)/2 · (1/√3)] + [(b+a)/2]