Movimento de Partículas e Circuitos Elétricos: Análise e Cálculos

Movimento de uma Partícula

Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal com a equação de posição S = 2t³ - 4t² + 2t - 1. Vamos determinar os intervalos de tempo em que a partícula se move para a direita e para a esquerda, bem como os instantes de inversão de movimento.

A velocidade da partícula é dada pela derivada da posição em relação ao tempo: v(t) = dS/dt = 6t² - 8t + 2.

Para encontrar os instantes de inversão de movimento, igualamos a velocidade a zero: 6t² - 8t + 2 = 0. Resolvendo a equação quadrática, encontramos t = 1/3 e t = 1.

Analisando o sinal da velocidade em diferentes intervalos de tempo:

• Para t < 1/3, v(t) > 0 (movimento para a direita).
• Para 1/3 < t < 1, v(t) < 0 (movimento para a esquerda).
• Para t > 1, v(t) > 0 (movimento para a direita).

Portanto, a partícula se move para a direita nos intervalos [0, 1/3) e (1, ∞), e para a esquerda no intervalo (1/3, 1). Os instantes de inversão são t = 1/3 (máximo local) e t = 1 (mínimo local).

Lançamento Vertical de uma Bola

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 64 m/s, seguindo a equação S = -16t² + 64t, onde S é a altura em metros e t é o tempo em segundos.

A - Velocidade após 1 segundo

A velocidade é dada por v(t) = dS/dt = -32t + 64. Para t = 1, v(1) = -32(1) + 64 = 32 m/s (subindo).

B - Velocidade após 3 segundos

Para t = 3, v(3) = -32(3) + 64 = -32 m/s (descendo).

C - Tempo até o ponto mais alto

No ponto mais alto, a velocidade é zero: -32t + 64 = 0, então t = 2 segundos.

D - Altura máxima

Substituindo t = 2 na equação de posição: S = -16(2)² + 64(2) = 64 metros.

E - Velocidade escalar após 1 e 3 segundos

Já calculamos em A e B: 32 m/s e -32 m/s.

F - Tempo para chegar ao solo

No solo, S = 0: -16t² + 64t = 0, então t( -16t + 64) = 0. As soluções são t = 0 e t = 4 segundos.

G - Velocidade ao chegar ao solo

Para t = 4, v(4) = -32(4) + 64 = -64 m/s.

Volume de um Cubo

Seja v(x) cm³ o volume de um cubo com x cm de lado. Vamos determinar a taxa média de variação de v(x) quando x varia em diferentes intervalos.

A - De 3,000 a 3,200

Taxa média = (v(3,2) - v(3)) / (3,2 - 3) = (32,768 - 27) / 0,2 = 28,84 cm³/cm.

B - De 3,000 a 3,100

Taxa média = (v(3,1) - v(3)) / (3,1 - 3) = (29,791 - 27) / 0,1 = 27,91 cm³/cm.

C - De 3,000 a 3,010

Taxa média = (v(3,01) - v(3)) / (3,01 - 3) = (27,270901 - 27) / 0,01 = 27,0901 cm³/cm.

D - De 3,000 a 3,001

Taxa média = (v(3,001) - v(3)) / (3,001 - 3) = (27,027009001 - 27) / 0,001 = 27,009001 cm³/cm.

E - Taxa de variação instantânea

A taxa de variação instantânea é dada pela derivada: v'(x) = 3x². Para x = 3, v'(3) = 3(3)² = 27 cm³/cm.

Circuito Elétrico

Em um circuito elétrico, E volts é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I é a intensidade da corrente, seguindo a lei E = RI. Se E é constante e positiva, vamos mostrar que R diminui a uma taxa proporcional ao inverso de I².

Temos R = E/I. Derivando em relação a I, obtemos dR/dI = -E/I². Portanto, R diminui a uma taxa proporcional ao inverso de I².