Movimento Periódico e Oscilações: MHS, Pêndulos e Hidrostática
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Movimento Periódico e Oscilações
O movimento periódico é aquele que se repete em um ciclo definido. Ele ocorre quando o corpo possui uma posição de equilíbrio e uma força restauradora ou um torque atua sobre o corpo quando ele é deslocado da sua posição de equilíbrio. O período (T) é o tempo necessário para completar um ciclo. A frequência (f) é o número de ciclos por unidade de tempo: $f = 1/T$ ; $T = 1/f$. A frequência angular ($\omega$) é $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$.
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Quando a força resultante for uma força restauradora (F) diretamente proporcional ao deslocamento (x), o movimento denomina-se movimento harmônico simples. Nesse caso, $F = -kx$ ; $a = F/m = -(k/m)x$. Em muitos casos, a força restauradora F é dada aproximadamente pela equação $F = -kx$ quando o deslocamento a partir da posição de equilíbrio for pequeno.
Círculo de Referência e Parâmetros do MHS
Na construção do círculo de referência, usamos um vetor girante chamado de fasor, que possui um comprimento igual à amplitude do movimento. Sua projeção sobre um eixo horizontal representa o movimento efetivo de um corpo que descreve um movimento harmônico simples. A frequência angular, a frequência e o período no MHS não dependem da amplitude, dependem somente da massa ($m$) e da constante da força ($k$):
- $\omega = \sqrt{k/m}$
- $f = \omega / 2\pi = (1/2\pi)\sqrt{k/m}$
- $T = 2\pi\sqrt{m/k}$
Conservação de Energia no MHS
A lei da conservação da energia no MHS permite deduzir a seguinte relação:
$$E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kA^2}{2} = \text{constante}$$
Movimento Harmônico Angular
No movimento harmônico angular, a frequência e a frequência angular são relacionadas com o momento de inércia (I) e com a constante de torção (k) por $\omega = \sqrt{k/I}$ e $f = (1/2\pi)\sqrt{k/I}$.
Pêndulos
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples é constituído por uma massa pontiforme ($m$) presa à extremidade de um fio sem massa de comprimento ($L$). Seu movimento é aproximadamente harmônico simples para amplitudes suficientemente pequenas; então a frequência angular, a frequência e o período são dados por:
- $\omega = \sqrt{g/L}$
- $f = (1/2\pi)\sqrt{g/L}$
- $T = 2\pi\sqrt{L/g}$
Pêndulo Físico
Um pêndulo físico é um corpo suspenso em um eixo de rotação situado a uma distância ($d$) do seu centro de gravidade. Sendo $I$ o momento de inércia em torno do eixo de rotação, a frequência angular e o período para oscilações com amplitudes pequenas são:
- $\omega = \sqrt{mgd/I}$
- $T = 2\pi\sqrt{I/mgd}$
Hidrostática e Fluidodinâmica
Pressão em Fluidos
- Pressão absoluta = Pressão total em um fluido.
- Pressão manométrica = Pressão absoluta - Pressão atmosférica.
Quando um fluido com densidade ($\rho$) uniforme (um fluido incompressível) está em repouso, a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 situados nas alturas $y_1$ e $y_2$ é dada por $p_2 - p_1 = -\rho g(y_2 - y_1)$. Quando a pressão na superfície de um fluido incompressível em repouso é $p_0$, a pressão a uma profundidade $h$ é dada por $p = p_0 + \rho g h$.
Empuxo
Empuxo = Peso do fluido deslocado.
Equação da Continuidade e Bernoulli
Para áreas $A_1$ e $A_2$, as velocidades de escoamento $V_1$ e $V_2$ são relacionadas por $A_1V_1 = A_2V_2$.
A Equação de Bernoulli relaciona a pressão ($p$) com a velocidade ($v$) e a altura ($y$) para o escoamento estacionário de um fluido ideal. Para dois pontos arbitrários, designados pelos índices inferiores 1 e 2, temos:
$$p_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$