Posições Relativas, Vetores e Determinantes

Posição Relativa entre Dois Planos

Considerem-se os planos e as suas equações gerais. Seja [A|B] a matriz ampliada do sistema constituído por estas equações gerais. Os planos são:

• Estritamente paralelos: se o sistema é impossível, ou seja, se a caraterística da matriz ampliada for maior que a caraterística da matriz A (car(A) = 1).
• Coincidentes: se têm todos os pontos em comum, ou seja, se a caraterística da matriz ampliada for igual à caraterística da matriz A, e igual a 1.
• Concorrentes: se ambos os planos se intersetarem numa reta. O sistema resultante de tal opção é um sistema possível e determinado, onde a caraterística da matriz ampliada é igual à caraterística da matriz.

Posição Relativa entre uma Reta e um Plano

• Estritamente paralelos: se a caraterística da matriz ampliada for maior que a caraterística da matriz A, sendo esta igual a 2, ou seja, se o sistema for impossível.
• Complanares: se a caraterística da matriz ampliada for igual à caraterística da matriz A, sendo esta igual a 2, ou seja, o sistema é possível e indeterminado.
• Concorrentes: se a caraterística da matriz ampliada for igual à caraterística da matriz A, sendo esta igual a 3, ou seja, o sistema é possível e determinado.

Posição Relativa entre Duas Retas

• Concorrentes: se a caraterística da matriz ampliada for igual à caraterística da matriz A, sendo esta igual a 3, ou seja, se o sistema for possível e determinado.
• Coincidentes: se a caraterística da matriz ampliada for igual à caraterística da matriz A, sendo esta igual a 2, ou seja, se o sistema for possível e indeterminado.
• Estritamente paralelas: se a caraterística da matriz ampliada for maior que a caraterística da matriz A, sendo esta igual a 2, ou seja, se o sistema for impossível.
• Enviesadas: se a caraterística da matriz ampliada for maior que a caraterística da matriz A, sendo esta igual a 3, ou seja, se o sistema for impossível (A é igual a 2).

Vetores Ortogonais, Colineares e Unitários

• Vetores ortogonais ou perpendiculares: x e y se X · Y = 0.
• Vetores colineares ou paralelos: têm a mesma direção se |X · Y| = ||X|| · ||Y||.
• Mesmo sentido: x e y têm o mesmo sentido se X · Y = ||X|| · ||Y||.
• Sentido oposto ou contrário: x e y têm sentido oposto se X · Y = -||X|| · ||Y||.

Propriedades dos Determinantes

O determinante de uma matriz, quando existe, é único. Algumas propriedades fundamentais incluem:

• Identidade: det(I) = 1.
• Transposta: det(A) = det(A^t).
• Dependência Linear: Se numa matriz as filas (linha ou coluna) forem linearmente dependentes, então o seu determinante é nulo (ex: uma fila de zeros, duas filas iguais ou duas filas proporcionais).
• Inversibilidade: Uma matriz A admite inversa se, e só se, o seu determinante for diferente de zero.
• Troca de Filas: Se B resulta de A por uma troca de duas linhas ou colunas, det(B) = -det(A).
• Multiplicação por Escalar: Se B resulta de A pela multiplicação de uma linha ou coluna por um escalar (a), então det(B) = a · det(A).
• Produto de Matrizes: det(AB) = det(A) · det(B).
• Escalar da Matriz: det(a · A) = aⁿ · det(A).

Teorema de Laplace

• Primeiro Teorema de Laplace: Postula que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha pelos seus respetivos complementos algébricos."
• Segundo Teorema de Laplace: Afirma que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer coluna pelos seus respetivos complementos algébricos."

Espaços Vetoriais

Uma reta que passa na origem representa um subespaço vetorial; um plano que passa na origem representa um espaço vetorial.