Progressões Aritméticas e Geométricas: Fórmulas e Exercícios

Progressão Aritmética (P.A.)

Exemplo de P.A.: 2, 7, 12, 17

Razão (R): A diferença entre termos consecutivos é constante.

• 7 menos 2 = 5
• 12 menos 7 = 5

Fórmula do Termo Geral da P.A.:

A_n = A₁ + (n - 1) · R

• A_n = Último termo
• n = Quantidade de termos
• A₁ = Primeiro termo
• R = Razão

Exercícios de Progressão Aritmética

1. Determine o décimo sétimo termo da P.A. (2, 13, 24, 35...)

Razão (R) = 13 - 2 = 11

A_n = A₁ + (n - 1) · R

A₁₇ = 2 + (17 - 1) · 11

A₁₇ = 2 + 16 · 11

A₁₇ = 2 + 176

A₁₇ = 178

4. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

(Nota: Janeiro é o 1º mês, Julho é o 7º mês. Razão R = 34.500 - 33.000 = 1.500)

A_n = A₁ + (n - 1) · R

A₇ = 33.000 + (7 - 1) · 1.500

A₇ = 33.000 + 6 · 1.500

A₇ = 33.000 + 9.000

A₇ = 42.000

6. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento, um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

(Total de termos n = 2 + 16 = 18)

A_n = A₁ + (n - 1) · R

88 = 3 + (18 - 1) · R

88 - 3 = 17R

85 = 17R

R = 85 / 17

R = 5 (A razão é constante)

Os marcos quilométricos são:

• A₁ = 3
• A₂ = A₁ + R = 3 + 5 = 8
• A₃ = A₂ + R = 8 + 5 = 13
• ... e assim sucessivamente.

Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos da P.A.

S_n = (A₁ + A_n) · N / 2

• S_n = Soma dos N termos
• N = Número de termos

8. Em uma festa de encerramento de um grande torneio esportivo todos os atletas foram dispostos em 40 filas formando um triângulo. Calcule o total de atletas.

(Assumindo A₁=1 e A₄₀=40)

S_n = (A₁ + A_n) · N / 2

S₄₀ = (1 + 40) · 40 / 2

S₄₀ = 41 · 20 (Dividindo 40 por 2)

S₄₀ = 820

9. Em uma P.A. de razão R = 7, temos A₂₀ = 131. Determine A₁.

A_n = A₁ + (n - 1) · R

A₂₀ = A₁ + (20 - 1) · 7

131 = A₁ + 19 · 7

131 = A₁ + 133

A₁ = 131 - 133

A₁ = -2

10. Interpolar 6 meios aritméticos entre 2 e 10, nessa ordem.

(Total de termos n = 2 extremos + 6 meios = 8)

A_n = A₁ + (n - 1) · R

10 = 2 + (8 - 1) · R

10 - 2 = 7R

8 = 7R

R = 8/7

Os termos intermediários são obtidos somando a razão (8/7) sucessivamente:

A₂ = 2 + 8/7 = 14/7 + 8/7 = 22/7

A₃ = 22/7 + 8/7 = 30/7

A₄ = 30/7 + 8/7 = 38/7

A₅ = 38/7 + 8/7 = 46/7

A₆ = 46/7 + 8/7 = 54/7

A₇ = 54/7 + 8/7 = 62/7

A₈ = 62/7 + 8/7 = 70/7 = 10

11. Determine o 23º termo da P.A. de razão R = 6 e A₁₅ = 18.

(Usando a fórmula do termo geral com A₁₅ como referência)

A_n = A_k + (n - k) · R

A₂₃ = A₁₅ + (23 - 15) · 6

A₂₃ = 18 + 8 · 6

A₂₃ = 18 + 48

A₂₃ = 66

Termo Geral n-ésimo (Exemplo)

(Considerando A₁=2 e R=6)

A_n = A₁ + (n - 1) · R

A_n = 2 + (n - 1)6

A_n = 2 + 6n - 6

A_n = 6n - 4

Progressão Geométrica (P.G.)

Exemplo de P.G.: 2, 6, 18, 54

Razão (Q): O quociente entre termos consecutivos é constante.

• 6 dividido por 2 = 3
• 18 dividido por 6 = 3

Fórmula do Termo Geral da P.G.:

A_n = A₁ · Q^n-1

• A_n = Último termo
• A₁ = Primeiro termo
• Q = Razão (quociente)
• n = Quantidade de termos

Exercícios de Progressão Geométrica

12. Determine o 5º termo da P.G. (1, 5, ...)

(Razão Q = 5 / 1 = 5)

A_n = A₁ · Q^n-1

A₅ = 1 · 5^5-1

A₅ = 1 · 5⁴

A₅ = 1 · 625

A₅ = 625

13. Calcule o 1º termo da P.G. (A₁, A₂, A₃, ....) em que A₄ = 128 e Q = 4.

A_n = A₁ · Q^n-1

128 = A₁ · 4^4-1

128 = A₁ · 4³

128 = A₁ · 64

A₁ = 128 / 64

A₁ = 2

15. Determine X para que a seguinte sequência seja P.G.: (x - 3, x, x + 6)

(Propriedade Geométrica: O termo central ao quadrado é igual ao produto dos extremos: B² = A · C)

x² = (x - 3) · (x + 6)

x² = x² + 6x - 3x - 18

0 = 3x - 18

3x = 18

x = 18 / 3

X = 6

16. Se três números não nulos formam, na mesma ordem, uma progressão geométrica e uma progressão aritmética, então a razão da progressão geométrica é:

Se (a, b, c) é P.A. e P.G., então a = b = c (os três números são iguais).

Razão da P.G. (Q) = b / a = 1

Razão da P.G.: 1

Fórmulas da Soma de P.G.

Soma de P.G. Finita:

S_n = A₁(1 - Qⁿ) / (1 - Q)

Soma de P.G. Infinita (se |Q| < 1):

S_∞ = A₁ / (1 - Q)

17. Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, ...)

(A₁=2, Q=2, n=8)

S₈ = 2(1 - 2⁸) / (1 - 2)

S₈ = 2(1 - 256) / (-1)

S₈ = 2(-255) / (-1)

S₈ = -510 / -1

S₈ = 510

18. Calcule a soma dos N primeiros termos da P.G. (1/3, 1/6, ...)

(A₁ = 1/3. Razão Q = (1/6) / (1/3) = 1/2. Como |Q| < 1, usamos a fórmula da soma infinita.)

S_∞ = A₁ / (1 - Q)

S_∞ = (1/3) / (1 - 1/2)

S_∞ = (1/3) / (2/2 - 1/2)

S_∞ = (1/3) / (1/2)

S_∞ = 1/3 · 2/1

S_∞ = 2/3