Prova Resolvida de Cálculo Numérico - 1º Semestre 2003

PRIMEIRA PROVA DE CÁLCULO NUMÉRICO - 2003

(1º semestre – 12 pontos)

Questão 1

Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 3 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa, num total de 10 bits. (2 pontos)

• a) Represente, nele, os números r = 2,125, s = -2,5, t = 0,55.
• b) Que número é representado por 1000010100?
• c) Qual o maior número positivo nele representável?
• d) Qual o maior número menor que 1?

Resolução

Análise do expoente:

a) Representação dos números:

r = 2,125 = 10,001 = 1,0001 × 2¹

s = -2,5 = -10,0 = -1,01 × 2¹

t = 0,55 = 0,100011001100... = 1,000110011... × 2^-1

b) Que número é representado por 1000010100?

-0,0101 × 2^-2 = -0,000101 = -(2^-4 + 2^-6) = -0,078125

c) Qual o maior número positivo nele representável?

1,111111 × 2³ = 1111,111 = 15,875

d) Qual o maior número menor que 1?

1 = 1,0 = 1,000000 × 2⁰

O maior número menor que 1 será: 1,111111 × 2^-1 = 0,1111111 = 1 – 2^-7 = 0,9921875

Questão 2

No cálculo da raiz de f(x) = e^-x – 3x – 3 = 0, pelo método da iteração linear, fazem-se as transformações:

• x = g₁(x) = (e^–x – 3) / 3
• x = g₂(x) = e^-x - 2x – 3
• x = g₃(x) = - ln(3 + 3x)

Obtenha, graficamente, uma boa estimativa x₀ da raiz. (1 ponto)

Indique, sem interagir, que função ou funções irão convergir para a raiz. (1 ponto)

Resolução

Fazendo e^-x = 3x + 3, temos que x₀ = -0,5 é uma boa estimativa para a raiz.

Para verificar a convergência, calculamos as derivadas:

• g₁'(x) = -e^–x / 3; onde g₁'(-0,5) = -0,55. Como está entre (-1, +1), garante a convergência.
• g₂'(x) = -e^-x – 2; onde g₂'(-0,5) = -3,65. Não converge.
• g₃'(x) = -3 / (3 + 3x); onde g₃'(-0,5) = -2. Não converge.

Logo, só podemos garantir a convergência da função g₁(x).

Questão 3

Pelo método de Newton-Raphson, calcule a raiz positiva da equação f(x) = e^x – 2cos(x) = 0, com erro menor que 0,001. (1 ponto)

Resolução

Estimativa gráfica: e^x = 2 cos(x). A raiz é aproximadamente 0,5. Logo, x₀ = 0,5.

Sendo f(x) = e^x – 2cos(x), tem-se f'(x) = e^x + 2sen(x).

Fórmula: x_i+1 = x_i – f(x_i) / f'(x_i)

Sequência de iterações:

• x₀ = 0,5
• x₁ = 0,54082 com Δx = 0,04082 > 0,001
• x₂ = 0,53979 com Δx = 0,00103 > 0,001
• x₃ ≈ 0,53979 com Δx ≈ 0 < 0,001

Logo, r ≈ 0,53979 ou r ≈ 0,540.

Questão 4

Resolva o sistema A.X = B abaixo pelo método iterativo de Gauss-Seidel, realizando três iterações completas, partindo de (0,0,0) e usando 2 casas decimais. (1 ponto)

• 5X₁ - 2X₂ = 1,0
• -1X₁ + 5X₂ – 1X₃ = 10,0
• -2X₂ + 5X₃ = -9,0

Resolução

Isolando as variáveis:

• x₁ = (1,0 + 2x₂) / 5
• x₂ = (10,0 + x₁ + x₃) / 5
• x₃ = (-9,0 + 2x₂) / 5

Sequência de iterações:

Raízes após convergência: x₁ = 1,00; x₂ = 2,00; x₃ = -1,00

Questão 5

Resolva a questão anterior pelo método LU. (1 ponto)

Resolução

Fatoração da matriz A:

Ao fazer L₂ – (-1/5)L₁ (ou seja, L₂ + 0,2L₁) e L₃ – (-2/4,6)L₂ (ou seja, L₃ + 0,43L₂), decompomos A em L e U.

A = L . U

Para resolver L.U.X = B, fazemos U.X = Y, logo L.Y = B:

• Y₁ = 1
• -0,2(1) + Y₂ = 10 → Y₂ = 10,2
• -0,43(10,2) + Y₃ = -9 → Y₃ = -4,61

Agora resolvemos U.X = Y:

• X₃ = -4,61 / 4,57 ≈ -1,01
• 4,6X₂ + 1(-1,01) = 10,2 → X₂ = 2,00
• 5X₁ – 2(2) = 1 → X₁ = 1,00

Questão 6

Calcule, com erro menor que 0,1, as 3 raízes do polinômio abaixo por Birge-Vieta. Trabalhe com 2 casas decimais. (1,5 pontos)

P(x) = 1,0x³ – 14x² + 35x + 50 = 0

Resolução (x₀ = 0)

Após as iterações do método de Birge-Vieta:

• r₁ = -1,00
• r₂ = 5,00
• r₃ = 10,00

Raízes finais: -1,00; 5,00; 10,00

Questão 7

a) O que entende por matriz mal condicionada? Que cuidados devem ser tomados? (0,5 ponto)

b) O que entende por convergência linear e convergência quadrática no cálculo de raízes? (0,5 ponto)

c) Explique a importância do Método LU. (0,5 ponto)

Resolução

Matriz Mal Condicionada: É uma matriz cujo determinante é muito pequeno em relação à magnitude de seus elementos. Pequenas variações nos dados de entrada ou arredondamentos intermediários causam grandes variações nos resultados. Os cálculos devem ser feitos com a maior precisão possível para minimizar a propagação de erros.

Convergência: Num método iterativo, busca-se aproximar o valor real da raiz. Se o erro e_i+1 ≈ k · e_i (com |k| < 1), a convergência é linear. Se e_i+1 ≈ k · e_i², a convergência é quadrática, sendo muito mais rápida.

Método LU: Fatora a matriz A em duas matrizes triangulares (L e U). É extremamente eficiente quando se precisa resolver vários sistemas A.X = B onde apenas o vetor B muda, pois a fatoração (etapa mais custosa) é feita apenas uma vez, restando apenas a resolução de dois sistemas triangulares simples para cada novo B.