Resolução de problemas: números complexos e combinatória

Área do quadrilátero convexo (vértices complexos)

A área do quadrilátero convexo cujo vértice é dado por: 3+2i, 3i, -4+i, -2i -> (3,2) (0,3) (-4,1) (0,-2) -> √-4 = 2i -> 5·3/2 + 5·4/2 = 17,5 (D)

Equação com a unidade imaginária i e parâmetro m

Sendo i a unidade imaginária e m um número real: z = (4+i)·(m-i)/(m+i). Desenvolvendo (m-i)·(m+i) = m²+1 e o numerador (4+i)(m-i) = 4m - 4i + im - i² = 4m+1 + i(m-4). Assim, para que a parte imaginária anule: m-4 = 0 → m = 4 (D)

Argumento principal do número complexo

Dados a = 1 e b = √3: |z| = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = 2. sen x = a/|z| = 1/2 e cos x = b/|z| = √3/2. O único quadrante em que seno e cosseno são positivos é o 1º quadrante. Portanto o ângulo é 60° ou π/3.

Número natural N com três algarismos (abc)

abc − 396 = cba. Escrevendo em valor posicional: 100a + 10b + c − 396 = 100c + 10b + a. Simplificando: 99a − 99c = 396 → a − c = 4. Sabendo também que a + c = 8, resolvemos: a = 6 → (C)

Paridade de n² − n + 1

Para todo número natural n, n² − n + 1 é ímpar. (Ex.: substituindo n = 1: 1² − 1 + 1 = 1, ímpar.)

Soma de potências de i

Sendo i = √−1, considere a soma i¹ + i² + i + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Agrupando: i + (−1) + 8·1 ? — observando a expressão original: i + i² + i + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 → i + (−1) + 8 = i + 7. (Na fonte original havia resultado i + 5; aqui mantemos a forma da soma e destacamos o procedimento.)

Escrita Braille (problema)

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 → N = 64 − 1 = 63.

Município: arranjo, área e proporção

Um município: Arranjo 10. 3,14/2 → A = 15,7 km; P = 15,7/6,8 = 0,25.

Produção do bufê

Um bufê produz 6: A6,3 = 120 → 120·6 = 720.

Probabilidade: casal e exatamente 3 crianças

Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Cálculo: 2·2·2 = 8. Probabilidade complementar: 1 − 1/8 = 7/8 → 7/8 = 0,875 (D).

Número complexo e seu conjugado

Se z = a + bi e seu conjugado é a − bi, e se (a+bi) + (a−bi) = 4 → 2a = 4 → a = 2. E (a+bi) − (a−bi) = −4i → 2bi = −4i → b = −2. Logo z = 2 − 2i = 2·√2 em módulo; arg(z) = 7·π/4.

Potência de z e forma trigonométrica

z² = (2−2i)² = (2√2)²·e^{i·(7π/2)} — expressando em termos de argumentos: z² corresponde a 8·e^{i·(3π/2)} = −8i [cos(3π/2) + i·sen(3π/2)] → letra A.

Verificação de números de identificação

Os números de identificação: 2×1=2, 4×2=8, 6×1=6, 8×2=16+1=17, 5×1=5. Soma: 2+8+6+17+5 = 38 → 38/10 = 3,8 → 0,8×10 = 8 (E).

Dois ônibus partem simultaneamente

MMC de 90 e 80 = 720.

Semáforo: frações e operações

Em um determinado semáforo: 25/100 = 1/4 → (1/4) × (1/4) = 1/16.

Alguns números guardam entre si

Alguns números guardam entre si → C (conforme indicação original).

Escolha aleatória de três vértices

Escolhem-se ao acaso três vértices: C(10,3) e C(4,3). Depois: põe 5·4/120 = 20/120 → 1/6.

Dois primos que sempre brincam

Dois primos que sempre brincam → A (conforme indicação original).

Associação recém formada — combinações

Uma associação recém formada vai constituir: C(6,1)·C(4,1)·C(8,2). Cálculo: 6·4·28 = 672 maneiras distintas.