Resolução de Sistemas Lineares: Métodos Matriciais e Cramer

Resolução de Sistemas Lineares

Método Matricial (Inversa)

Considere o sistema:

3X + Y = 1

-7X - 2Y = -1

Representação matricial:

[ 3 1 | 1 0 ]
[-7 -2 | 0 1 ]

Aplicando operações elementares:

R1 / 3

[ 1 1/3 | 1/3 0 ]
[-7 -2 | 0 1 ]

R1 * 7 + R2

[ 1 1/3 | 1/3 0 ]
[ 0 1/3 | 7/3 1 ]

R2 / (1/3)

[ 1 1/3 | 1/3 0 ]
[ 0 1 | 7 3 ]

R2 * (-1/3) + R1

[ 1 0 | -2 -1 ]
[ 0 1 | 7 3 ]

Solução: X = -2, Y = 7

Método de Cramer

Considere o sistema:

2X + 4Y + 6Z = 22

3X + 8Y + 5Z = 27

-X + Y + 2Z = 2

Cálculo do Determinante Principal (Δ)

Δ = | 2 4 6 | = (2*8*2) + (4*5*-1) + (6*3*1) - (6*8*-1) - (2*5*1) - (4*3*2)
| 3 8 5 |
|-1 1 2 |
Δ = 32 - 20 + 18 - (-48) - 10 - 24 = 32 - 20 + 18 + 48 - 10 - 24 = 44

Cálculo de ΔX

ΔX = | 22 4 6 | = (22*8*2) + (4*5*-1) + (6*3*1) - (6*8*-1) - (22*5*1) - (4*3*2)
| 27 8 5 |
| 2 1 2 |
ΔX = 352 - 20 + 18 - (-48) - 110 - 24 = 352 - 20 + 18 + 48 - 110 - 24 = 164

Cálculo de ΔY

ΔY = | 2 22 6 | = (2*27*2) + (22*5*-1) + (6*3*1) - (6*27*1) - (2*5*1) - (22*3*2)
| 3 27 5 |
|-1 2 2 |
ΔY = 108 - 110 + 18 - 162 - 10 - 132 = 108 - 110 + 18 - 162 - 10 - 132 = -298

Cálculo de ΔZ

ΔZ = | 2 4 22 | = (2*8*2) + (4*27*-1) + (22*3*1) - (22*8*1) - (2*27*1) - (4*3*2)
| 3 8 27 |
|-1 1 2 |
ΔZ = 32 - 108 + 66 - 176 - 54 - 24 = 32 - 108 + 66 - 176 - 54 - 24 = -264

Solução

x = ΔX / Δ = 164 / 44

y = ΔY / Δ = -298 / 44

z = ΔZ / Δ = -264 / 44