Resumo de Álgebra Linear Essencial

Propriedades de Matrizes e Valores Próprios

• Se A é uma matriz de ordem n, o polinómio característico é de grau n.
• A soma dos valores próprios é igual ao traço dessa matriz.
• O produto dos valores próprios é igual ao seu determinante.
• Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos da diagonal principal.
• Se lambda (λ) é valor próprio de A, então λ é valor próprio de A^T.
• Multiplicidade Algébrica: número de vezes que λ ocorre como raiz do polinómio característico.
• Multiplicidade Geométrica: dimensão do V(λ) (subespaço próprio associado a λ).
• Determinar o subespaço próprio de A associado a um valor próprio λ da matriz A = determinar o conjunto solução do sistema (A - λI)X = 0.
• Matriz Diagonalizável:
  • se admite n vetores próprios que constituem um conjunto linearmente independente;
  • se todos os λ forem distintos;
  • mg = ma (multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica);
  • ma + mg = n.
• Matriz Simétrica: A = A^T.
• Característica (car(A)): número máximo de linhas/colunas da matriz que são linearmente independentes (faz-se a matriz reduzida e conta-se os pivôs).
• Núcleo (Nuc(A)): conjunto formado por todos os vetores de U que têm como imagem o vetor nulo de V.
• Imagem (Im(A)): conjunto formado por todos os vetores de V que são imagem de algum vetor de U.
• Quando a dimensão da Im(A) = dimensão de Rⁿ, então Im(A) = Rⁿ.
• O espaço-coluna de A é o espaço gerado pelas colunas de A, isto é, é igual a Im(A).
• O espaço-linha de A é o espaço gerado pelas linhas de A, isto é, igual a Im(A^T).
• A dimensão da imagem é igual ao número de colunas não nulas da escada reduzida.

Método de Gram-Schmidt

Processo para ortogonalizar um conjunto de vetores:

f₁ = v₁

f₂ = v₂ - ((v₂ · f₁) / (f₁ · f₁)) · f₁

f₃ = v₃ - ((v₃ · f₂) / (f₂ · f₂)) · f₂ - ((v₃ · f₁) / (f₁ · f₁)) · f₁

...

f_n = v_n - ((v_n · f_n-1) / (f_n-1 · f_n-1)) · f_n-1 - ... - ((v_n · f₁) / (f₁ · f₁)) · f₁

Para obter vetores ortonormais:

e₁ = (1 / |f₁|) · f₁, ..., e_n = (1 / |f_n|) · f_n

Definições e Propriedades Adicionais

• Dependência/Independência Linear: Um conjunto de vetores é dito linearmente independente quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.
• Sistema Possível e Indeterminado (SLD): Geralmente associado a dependência linear nas linhas da matriz do sistema.
• Sistema Possível, Indeterminado, Homogéneo, Equações < Variáveis: Implica que o sistema é SLD.
• Sistema de vetores (u, v): LD se u e v forem múltiplos; LI se u e v não forem múltiplos.
• <u₁,...,u_p>: Representa o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores u₁ a u_p (o espaço gerado por eles).