Resumo de Álgebra Linear: Subespaços, Autovalores e Invertibilidade

Subespaços Vetoriais

Afirmações Verdadeiras

• Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que Lu + v sempre é um vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar L, então W é um subespaço de V.
• Se S é um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V, então ger(S) é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
• A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V também é um subespaço de V.

Afirmações Falsas

• Se ger(S₁) = ger(S₂), então S₁ = S₂.
• Se Ax = b é qualquer sistema linear consistente de m equações em n incógnitas, então o conjunto solução é um subespaço de Rⁿ.

Propriedades de Vetores e Subespaços

Sejam u, v, w vetores em Rⁿ e a um escalar, então:

• u ⋅ v = v ⋅ u
• u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
• k(u ⋅ v) = (ku) ⋅ v
• u ⋅ u ≥ 0 e u ⋅ u = 0 se e somente se u = 0.
• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• u + (-u) = 0
• k(u + v) = ku + kv
• (a + b)u = au + bu
• a(bu) = (ab)u
• 1u = u
• Existe o vetor nulo 0 tal que 0 + v = v + 0 = v.
• Existe o vetor simétrico -u tal que u + (-u) = 0.
• Para quaisquer U, V ∈ W, U + V ∈ W.
• Para quaisquer a ∈ R e U ∈ W, aU ∈ W.
• ||u|| = √(u ⋅ u)

Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo formado entre eles, então:

• θ é agudo se u ⋅ v > 0.
• θ é obtuso se u ⋅ v < 0.
• θ é reto se u ⋅ v = 0.

Autovalores e Autovetores

Afirmação Falsa

• Se Ax = λx para algum escalar λ não nulo, então x é um autovetor de A. (x deve ser não nulo)

Afirmações Verdadeiras

• Se λ não é um autovalor de A, então o sistema linear (λI - A)x = 0 só tem a solução trivial.
• Se λ = 0 é um autovalor de A, então A² é singular.
• Se o polinômio característico de A é p(λ) = λ + 1, então A é invertível.

Propriedades de Matrizes Invertíveis

Se A é uma matriz nxn e se T: Rⁿ → Rⁿ é a transformação linear de multiplicação por A, então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. A é invertível.
2. Ax = 0 admite somente a solução trivial.
3. A forma escalonada reduzida por linhas de A é I_n.
4. A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares.
5. Ax = b é consistente para cada matriz b de tamanho n x 1.
6. Ax = b tem exatamente uma solução para cada matriz b de tamanho n x 1.
7. det(A) ≠ 0.
8. A imagem de T_A é Rⁿ.
9. T_A é injetora.
10. Os vetores coluna e linha de A são Linearmente Independentes (LI).
11. Os vetores coluna e linha de A geram Rⁿ.
12. Os vetores coluna e linha de A formam uma base de Rⁿ.
13. A tem posto n.
14. A tem nulidade 0.
15. O complemento ortogonal do espaço nulo de A é Rⁿ.
16. O complemento ortogonal do espaço linha de A é {0}.
17. A^TA é invertível.
18. λ = 0 não é um autovalor de A.

Independência Linear

Afirmações Verdadeiras

• Se {v₁, v₂, v₃} é um conjunto LI, então {kv₁, kv₂, kv₃} também é LI para cada escalar k não nulo.
• Se {v₁, v₂} é um conjunto LD, então cada vetor é um múltiplo escalar do outro.

Afirmações Falsas

• O conjunto de matrizes 2x2 que contém dois 1s e dois 0s é um conjunto LI em M_2x2.